Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos:
b) eneágono

Passo 1

O que o problema dá e o que pede:\n
  • Dado: um eneágono (polígono de nove lados). Vou usar a letra n para indicar o número de vértices/lados do polígono. Aqui temos n=9.\n
  • Pedido: determinar o número de diagonais desse eneágono, ou seja, quantos segmentos que ligam dois vértices não adjacentes existem no polígono.

Passo 2

O que é uma diagonal (explicação didática):\n
  • Diagonal é o segmento que une dois vértices do polígono que não sejam adjacentes. \n
  • Não contam como diagonais as arestas (os lados) do polígono nem segmentos que partam do mesmo vértice (isso seria um ponto). \n
    Essa definição é importante para montar uma fórmula que conte apenas os segmentos que são diagonais.

Passo 3

Derivação da fórmula — abordagem por vértice (passo a passo):\n
  • Considere um polígono com n vértices.\n
  • Pegando um vértice fixo, a quantas outras vértices ele pode se ligar por um segmento? Ele pode se ligar a n-1 outros vértices (todos exceto ele mesmo).\n
  • Desses n-1 segmentos, dois são os lados adjacentes ao vértice (não são diagonais). Logo, o número de diagonais que partem de um vértice é n-1-2=n-3.\n
  • Como há n vértices, somando sobre todos os vértices obtemos n(n-3) segmentos que começam em algum vértice e vão para um vértice não adjacente.\n
  • Cada diagonal foi contada duas vezes nessa soma (uma vez por cada extremidade). Portanto, para obter o número de diagonais distintos devemos dividir por 2.\n
  • Conclusão: a fórmula para o número de diagonais é
\frac{n(n-3)}{2}.
Expliquei o que cada parte significa: n é o número de vértices; n-3 é quantas diagonais saem de cada vértice; dividir por 2 corrige a contagem dupla.

Passo 4

Derivação alternativa (combinatória) — confirmação da fórmula:\n
  • Escolhemos quaisquer 2 vértices entre n para formar um segmento: há \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} escolhas.\n
  • Desses segmentos, exatamente n são os lados do polígono (as arestas entre vértices adjacentes).\n
  • Portanto, o número de diagonais é
\frac{n(n-1)}{2}-n.
  • Simplificando:
\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2}=\frac{n(n-3)}{2},
que é a mesma fórmula do Passo 3. Ter duas derivações ajuda a confiar na fórmula.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao eneágono ( n=9) — contas passo a passo:\n
  • Substituo n=9 na fórmula \dfrac{n(n-3)}{2}:\n
\frac{9(9-3)}{2}\n
  • Calculo 9-3:\n
9-3=6\n
  • Calculo 9\cdot 6:\n
9\cdot 6=54\n
  • Fico com a expressão \dfrac{54}{2}. (Não vou repetir o resultado final aqui; ele aparece na seção de resposta.)

Passo 6

Verificação rápida com polígonos pequenos (pra te dar confiança na fórmula):\n
  • Triângulo ( n=3): \dfrac{3(3-3)}{2}=\dfrac{3\cdot0}{2}=0 diagonais — faz sentido.\n
  • Quadrilátero ( n=4): \dfrac{4(4-3)}{2}=\dfrac{4\cdot1}{2}=\dfrac{4}{2} diagonais — que é 2 diagonais, também faz sentido.\n
    Esses cheques mostram que a fórmula comporta-se bem nos casos simples.

Resposta

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