Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos:
b) eneágono
b) eneágono
Passo 1
O que o problema dá e o que pede:\n
- Dado: um eneágono (polígono de nove lados). Vou usar a letra
para indicar o número de vértices/lados do polígono. Aqui temos .\n - Pedido: determinar o número de diagonais desse eneágono, ou seja, quantos segmentos que ligam dois vértices não adjacentes existem no polígono.
Passo 2
O que é uma diagonal (explicação didática):\n
- Diagonal é o segmento que une dois vértices do polígono que não sejam adjacentes. \n
- Não contam como diagonais as arestas (os lados) do polígono nem segmentos que partam do mesmo vértice (isso seria um ponto). \n
Essa definição é importante para montar uma fórmula que conte apenas os segmentos que são diagonais.
Passo 3
Derivação da fórmula — abordagem por vértice (passo a passo):\n
- Considere um polígono com
vértices.\n - Pegando um vértice fixo, a quantas outras vértices ele pode se ligar por um segmento? Ele pode se ligar a
outros vértices (todos exceto ele mesmo).\n - Desses
segmentos, dois são os lados adjacentes ao vértice (não são diagonais). Logo, o número de diagonais que partem de um vértice é .\n - Como há
vértices, somando sobre todos os vértices obtemos segmentos que começam em algum vértice e vão para um vértice não adjacente.\n - Cada diagonal foi contada duas vezes nessa soma (uma vez por cada extremidade). Portanto, para obter o número de diagonais distintos devemos dividir por
.\n - Conclusão: a fórmula para o número de diagonais é
Expliquei o que cada parte significa:
é o número de vértices;
é quantas diagonais saem de cada vértice; dividir por
corrige a contagem dupla.
Passo 4
Derivação alternativa (combinatória) — confirmação da fórmula:\n
- Escolhemos quaisquer
vértices entre para formar um segmento: há escolhas.\n - Desses segmentos, exatamente
são os lados do polígono (as arestas entre vértices adjacentes).\n - Portanto, o número de diagonais é
- Simplificando:
que é a mesma fórmula do Passo 3. Ter duas derivações ajuda a confiar na fórmula.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao eneágono (
) — contas passo a passo:\n
- Substituo
na fórmula :\n
- Calculo
:\n
- Calculo
:\n
- Fico com a expressão
. (Não vou repetir o resultado final aqui; ele aparece na seção de resposta.)
Passo 6
Verificação rápida com polígonos pequenos (pra te dar confiança na fórmula):\n
- Triângulo (
): diagonais — faz sentido.\n - Quadrilátero (
): diagonais — que é diagonais, também faz sentido.\n
Esses cheques mostram que a fórmula comporta-se bem nos casos simples.