Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos:
a) pentágono
a) pentágono
Passo 1
O enunciado pede: determine o número de diagonais de um pentágono.
Informações dadas: trata-se de um polígono com vértices (um pentágono). A pergunta é apenas quantas diagonais esse polígono tem.
Informações dadas: trata-se de um polígono com
Passo 2
O que é uma diagonal?
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não consecutivos do polígono. Não contamos os lados (vértices consecutivos) nem segmentos que ligam um vértice a si mesmo.
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não consecutivos do polígono. Não contamos os lados (vértices consecutivos) nem segmentos que ligam um vértice a si mesmo.
Passo 3
Contagem por vértice (ideia inicial):
Escolhendo um vértice qualquer, ele pode ser ligado a todos os outros vértices exceto a ele mesmo e seus dois vizinhos (porque ligações a vizinhos são lados, não diagonais). Assim, de cada vértice saem diagonais em um polígono de
vértices. Aqui, escrevemos a ideia em fórmula:
Escolhendo um vértice qualquer, ele pode ser ligado a todos os outros vértices exceto a ele mesmo e seus dois vizinhos (porque ligações a vizinhos são lados, não diagonais). Assim, de cada vértice saem
Passo 4
Ajuste por dupla contagem (por que dividir por
):
Se somarmos as conexões de todos os vértices obtemos , mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Portanto o número real de diagonais é
Se somarmos as conexões de todos os vértices obtemos
Expliquei:
é o número de vértices do polígono;
é quantos vértices não-adjacentes existem a partir de um vértice; e o divisor
corrige a dupla contagem.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao pentágono (
):
Substituímos em
Substituímos
Calcule passo a passo:
Portanto
.
Passo 6
Verificação concreta (rotulando vértices):
Rotule os vértices como . Liste as diagonais possíveis:
. São exatamente
segmentos que ligam vértices não consecutivos, confirmando o resultado.
Rotule os vértices como