Determine o número de maneiras em que entre três dígitos aleatórios apareçam exatamente 1,2 ou 3 algarismos distintos

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem uma sequência de três dígitos (cada um de 0 a 9) e quer contar de quantas formas aparecem exatamente 1, exatamente 2 ou exatamente 3 dígitos diferentes nessa sequência.
Matéria envolvida: contagem básica em combinatória – usar a regra do produto, coeficiente binomial e, em alguns casos, o princípio de contagem complementar. Vamos precisar também saber que o total de sequências de três dígitos é .

Passo 2

Caso “exatamente 1 dígito distinto”
Isso significa que os três dígitos são todos iguais, tipo 777 ou 222.
  1. Escolher qual dígito vai repetir (0,1,2,…,9): 10 maneiras.
  2. Como os três lugares já são todos iguais a esse dígito, não tem outra escolha.
    Logo, número de sequências =
10

Passo 3

Caso “exatamente 2 dígitos distintos”
Aqui a sequência tem dois valores diferentes, mas um deles aparece duas vezes e o outro aparece uma vez (por exemplo, 5-5-3 ou 1-7-1).
  1. Escolher quais 2 dígitos aparecem: binom102times 6 = 45 times 6 = 270 maneiras.
  2. Para cada par escolhido (digamos A e B), contar quantas sequências de comprimento 3 usam A ou B e usam os dois pelo menos uma vez.
    • Total de sequências só com A e B = .
    • Mas desse total precisamos excluir as duas sequências “tudo A” e “tudo B” (que dariam só 1 dígito distinto).
    • Então vale sequências “válidas”.
  3. Multiplica:

Passo 4

Caso “exatamente 3 dígitos distintos”
Aqui os três dígitos são todos diferentes, tipo 4-8-1.
  1. Escolher quais 3 dígitos vão aparecer: binom103times 3! = 120 times 6 = 720 maneiras.
  2. Para cada conjunto de 3 dígitos, a gente só precisa permutar esses 3 valores nos 3 lugares: arranjos distintos.
  3. Multiplica:

Resposta

Exatamente 1 dígito distinto: 10
Exatamente 2 dígitos distintos: 270
Exatamente 3 dígitos distintos: 720

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