Determine o número de maneiras em que entre três dígitos aleatórios apareçam exatamente 1,2 ou 3 algarismos distintos
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem uma sequência de três dígitos (cada um de 0 a 9) e quer contar de quantas formas aparecem exatamente 1, exatamente 2 ou exatamente 3 dígitos diferentes nessa sequência.
Matéria envolvida: contagem básica em combinatória – usar a regra do produto, coeficiente binomial e, em alguns casos, o princípio de contagem complementar. Vamos precisar também saber que o total de sequências de três dígitos é
.
Matéria envolvida: contagem básica em combinatória – usar a regra do produto, coeficiente binomial
Passo 2
Caso “exatamente 1 dígito distinto”
Isso significa que os três dígitos são todos iguais, tipo 777 ou 222.
Isso significa que os três dígitos são todos iguais, tipo 777 ou 222.
- Escolher qual dígito vai repetir (0,1,2,…,9): 10 maneiras.
- Como os três lugares já são todos iguais a esse dígito, não tem outra escolha.
Logo, número de sequências =
Passo 3
Caso “exatamente 2 dígitos distintos”
Aqui a sequência tem dois valores diferentes, mas um deles aparece duas vezes e o outro aparece uma vez (por exemplo, 5-5-3 ou 1-7-1).
Aqui a sequência tem dois valores diferentes, mas um deles aparece duas vezes e o outro aparece uma vez (por exemplo, 5-5-3 ou 1-7-1).
- Escolher quais 2 dígitos aparecem:
maneiras. - Para cada par escolhido (digamos A e B), contar quantas sequências de comprimento 3 usam A ou B e usam os dois pelo menos uma vez.
- Total de sequências só com A e B =
. - Mas desse total precisamos excluir as duas sequências “tudo A” e “tudo B” (que dariam só 1 dígito distinto).
- Então vale
sequências “válidas”.
- Total de sequências só com A e B =
- Multiplica:
Passo 4
Caso “exatamente 3 dígitos distintos”
Aqui os três dígitos são todos diferentes, tipo 4-8-1.
Aqui os três dígitos são todos diferentes, tipo 4-8-1.
- Escolher quais 3 dígitos vão aparecer:
maneiras. - Para cada conjunto de 3 dígitos, a gente só precisa permutar esses 3 valores nos 3 lugares:
arranjos distintos. - Multiplica:
Resposta
Exatamente 1 dígito distinto: 10
Exatamente 2 dígitos distintos: 270
Exatamente 3 dígitos distintos: 720
Exatamente 2 dígitos distintos: 270
Exatamente 3 dígitos distintos: 720