Suponha que de um total de n varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma curta, As 2n partes são arrumadas em n pares dos quais novas varetas são formadas. Determine o número de maneiras que todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos varetas e cada uma é quebrada em duas partes – uma longa e uma curta. No total são pedaços, e a gente vai formar pares (cada par vira uma “nova” vareta). A condição é que em cada par tenha exatamente uma parte longa e uma parte curta. A matéria que usamos aqui é contagem de emparelhamentos (ou bijeções) entre dois conjuntos de objetos, e para resolver vamos precisar do conceito de permutações e do fatorial.

Passo 2

Vamos modelar assim: chame as partes longas de n! = ntimes(n-1)timescdotstimes2times1 e as curtas de . Cada par válido corresponde a escolher uma “curta” para cada “longa”. Isso é exatamente uma bijeção entre o conjunto e .
Teoria que uso aqui:
  • Uma bijeção de um conjunto de tamanho para outro de mesmo tamanho é o mesmo que uma permutação de elementos.
  • O número de permutações de objetos diferentes é , onde

Passo 3

Para ver na prática: imagine que você tem as n times (n-1) times (n-2)timescdotstimes1 = n! partes longas espalhadas e vai, uma a uma, ligar a cada parte curta.
  • Para , você tem opções de .
  • Depois de usar uma dessas, para restam curtas.
  • E assim por diante, até sobrar apenas 1 opção para .
Multiplicando as opções:

Resposta

O número de maneiras de emparelhar todas as partes longas com partes curtas é
boxedn!

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