Suponha que de um total de
varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma curta, As
partes são arrumadas em
pares dos quais novas varetas são formadas. Determine o número de maneiras que todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: temos
varetas e cada uma é quebrada em duas partes – uma longa e uma curta. No total são
pedaços, e a gente vai formar
pares (cada par vira uma “nova” vareta). A condição é que em cada par tenha exatamente uma parte longa e uma parte curta. A matéria que usamos aqui é contagem de emparelhamentos (ou bijeções) entre dois conjuntos de
objetos, e para resolver vamos precisar do conceito de permutações e do fatorial.
Passo 2
Vamos modelar assim: chame as partes longas de
e as curtas de
. Cada par válido corresponde a escolher uma “curta” para cada “longa”. Isso é exatamente uma bijeção entre o conjunto
e
.
Teoria que uso aqui:
- Uma bijeção de um conjunto de tamanho
para outro de mesmo tamanho é o mesmo que uma permutação de elementos. - O número de permutações de
objetos diferentes é , onde
Passo 3
Para ver na prática: imagine que você tem as
partes longas espalhadas e vai, uma a uma, ligar a cada parte curta.
- Para
, você tem opções de . - Depois de usar uma dessas, para
restam curtas. - E assim por diante, até sobrar apenas 1 opção para
.
Multiplicando as opções:
Resposta
O número de maneiras de emparelhar todas as partes longas com partes curtas é