Se
homens, dentre os quais
e
, estão em um círculo ao invés de em uma fila, qual o número de maneiras em que existam exatamente
homens entre
e
?
Passo 1
O enunciado diz: “Temos
homens sentados em um círculo, entre eles o
e o
. Queremos contar de quantas maneiras podemos dispor todo mundo de modo que haja exatamente
homens entre
e
.”
Conteúdo: permutação circular e posicionamento de dois elementos com uma certa “distância” (número de pessoas) entre eles.
Vamos precisar entender como “quebrar” a simetria do círculo (fixar um ponto de referência) e depois contar as posições possíveis para , além de permutar os demais.
Conteúdo: permutação circular e posicionamento de dois elementos com uma certa “distância” (número de pessoas) entre eles.
Vamos precisar entender como “quebrar” a simetria do círculo (fixar um ponto de referência) e depois contar as posições possíveis para
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que em uma permutação circular de
pessoas, o total de arranjos distintos (ignorando rotações) é
.
Para lidar com isso de forma prática, a gente “fixa” o em um assento de referência. Assim, evitamos contar arranjos que sejam só rotações uns dos outros.
Para lidar com isso de forma prática, a gente “fixa” o
Passo 3
Com
fixo, agora vamos posicionar o
de modo que haja exatamente
homens entre
e
.
Num círculo com lugares e
em um deles, sobra uma “volta” de
assentos para
e os outros.
Para ter pessoas entre
e
, o
deve ficar
lugares à frente de
. Mas atenção: no círculo podemos contar essa “frente” tanto no sentido horário quanto no sentido anti-horário.
Logo, existem 2 posições possíveis para o que asseguram exatamente
pessoas no meio.
Num círculo com
Para ter
Logo, existem 2 posições possíveis para o
Passo 4
Depois de colocar
e
, restam
pessoas e
assentos livres. Essas
pessoas podem ser dispostas em qualquer ordem nos assentos restantes, o que dá
maneiras.
Resposta
Multiplicando: 2 formas de posicionar
vezes
arranjos dos outros, o total é