Se n homens, dentre os quais A e B, estão em um círculo ao invés de em uma fila, qual o número de maneiras em que existam exatamente r homens entre A e B?

Passo 1

O enunciado diz: “Temos homens sentados em um círculo, entre eles o e o . Queremos contar de quantas maneiras podemos dispor todo mundo de modo que haja exatamente homens entre e .”
Conteúdo: permutação circular e posicionamento de dois elementos com uma certa “distância” (número de pessoas) entre eles.
Vamos precisar entender como “quebrar” a simetria do círculo (fixar um ponto de referência) e depois contar as posições possíveis para , além de permutar os demais.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que em uma permutação circular de pessoas, o total de arranjos distintos (ignorando rotações) é .
Para lidar com isso de forma prática, a gente “fixa” o em um assento de referência. Assim, evitamos contar arranjos que sejam só rotações uns dos outros.

Passo 3

Com fixo, agora vamos posicionar o de modo que haja exatamente homens entre e .
Num círculo com lugares e em um deles, sobra uma “volta” de assentos para e os outros.
Para ter pessoas entre e , o deve ficar lugares à frente de . Mas atenção: no círculo podemos contar essa “frente” tanto no sentido horário quanto no sentido anti-horário.
Logo, existem 2 posições possíveis para o que asseguram exatamente pessoas no meio.

Passo 4

Depois de colocar e , restam pessoas e assentos livres. Essas pessoas podem ser dispostas em qualquer ordem nos assentos restantes, o que dá maneiras.

Resposta

Multiplicando: 2 formas de posicionar boxed2,(n-2)! vezes arranjos dos outros, o total é

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