Da população de cinco símbolos
, retira-se uma amostra de tamanho 25. Determine o número de maneiras em que a amostra contenha cinco símbolos de cada espécie.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos uma “população” de cinco símbolos distintos {a, b, c, d, e} e vamos tirar uma amostra de tamanho 25. Queremos contar de quantas maneiras essa amostra pode ter exatamente 5 cópias de cada símbolo.
Conteúdo: é um problema de contagem combinatória usando fatoriais e o coeficiente multinomial.
O que vamos usar:
Conteúdo: é um problema de contagem combinatória usando fatoriais e o coeficiente multinomial.
O que vamos usar:
- Fatorial n! = 1·2·3·…·n
- A ideia de permutação com repetição (ou coeficiente multinomial), que é: se você tem n objetos com grupos repetidos de tamanhos n₁,n₂,…,n_k, o total de ordenações é
Passo 2
Aqui é onde rola a mágica:
- Se todos os 25 símbolos fossem diferentes, o número de jeitos de “ordenar” eles seria 25!.
- Mas, como temos 5 cópias de cada símbolo, estamos “contando” as mesmas ordenações várias vezes — uma para cada permutação interna das 5 cópias de, digamos, o símbolo a. Para corrigir isso, dividimos por 5! para o a, 5! para o b, … até o e.
- Logo, aplicando a fórmula do coeficiente multinomial com n=25 e n₁=n₂=…=n₅=5, obtemos