Da população de cinco símbolos a, b, c, d, e, retira-se uma amostra de tamanho 25. Determine o número de maneiras em que a amostra contenha cinco símbolos de cada espécie.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos uma “população” de cinco símbolos distintos {a, b, c, d, e} e vamos tirar uma amostra de tamanho 25. Queremos contar de quantas maneiras essa amostra pode ter exatamente 5 cópias de cada símbolo.
Conteúdo: é um problema de contagem combinatória usando fatoriais e o coeficiente multinomial.
O que vamos usar:
  • Fatorial n! = 1·2·3·…·n
  • A ideia de permutação com repetição (ou coeficiente multinomial), que é: se você tem n objetos com grupos repetidos de tamanhos n₁,n₂,…,n_k, o total de ordenações é
n!n1!,n2!,cdots,nk!

Passo 2

Aqui é onde rola a mágica:
  1. Se todos os 25 símbolos fossem diferentes, o número de jeitos de “ordenar” eles seria 25!.
  2. Mas, como temos 5 cópias de cada símbolo, estamos “contando” as mesmas ordenações várias vezes — uma para cada permutação interna das 5 cópias de, digamos, o símbolo a. Para corrigir isso, dividimos por 5! para o a, 5! para o b, … até o e.
  3. Logo, aplicando a fórmula do coeficiente multinomial com n=25 e n₁=n₂=…=n₅=5, obtemos
25!5!,5!,5!,5!,5! ;=; 25!(5!)^5

Resposta

boxed25!(5!)^5

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