Calcule as integrais de linha.
(b)
(b)
Passo 1
A integral é ao redor do círculo |z–2|=1 da função f(z)=\frac{5z^2+1}{(z–2)(z+1)}. Isso cai no conteúdo de integrais de contorno em variável complexa, e a gente vai usar o teorema dos resíduos para resolver.
Passo 2
Precisamos achar os polos de f(z). O denominador z–2=0 dá polo em z=2, e z+1=0 dá polo em z=–1. Como o contorno é o círculo centrado em 2 de raio 1, a distância de 2 até –1 é 3>1, então o polo z=–1 fica fora. Só o polo em z=2 está dentro.
Passo 3
Para um polo simples em z=2, o resíduo é dado por Res[f,2]=lim_{z→2}(z–2)f(z). Temos
Passo 4
Agora pelo teorema dos resíduos, a integral é 2πi vezes a soma dos resíduos internos. Como só há o resíduo 7,
Resposta
14\pi i