Calcule as integrais de linha.
(b) oint|z-2|=1 5 z^2+1 d z(z-2)(z+1)

Passo 1

A integral é ao redor do círculo |z–2|=1 da função f(z)=\frac{5z^2+1}{(z–2)(z+1)}. Isso cai no conteúdo de integrais de contorno em variável complexa, e a gente vai usar o teorema dos resíduos para resolver.

Passo 2

Precisamos achar os polos de f(z). O denominador z–2=0 dá polo em z=2, e z+1=0 dá polo em z=–1. Como o contorno é o círculo centrado em 2 de raio 1, a distância de 2 até –1 é 3>1, então o polo z=–1 fica fora. Só o polo em z=2 está dentro.

Passo 3

Para um polo simples em z=2, o resíduo é dado por Res[f,2]=lim_{z→2}(z–2)f(z). Temos
Res[f,2]=limzto2(z-2)5z^2+1(z-2)(z+1)=5cdot2^2+12+1=213=7

Passo 4

Agora pelo teorema dos resíduos, a integral é 2πi vezes a soma dos resíduos internos. Como só há o resíduo 7,
oint|z-2|=15z^2+1(z-2)(z+1)dz=2pi icdot7=14pi i

Resposta

14\pi i

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