Esboce a curva representada pelas equações paramétricas dadas, incluindo sua orientação; e determine sua equação cartesiana.
x(t)=t^3 ; y(t)=1-t^2

Passo 1

Temos a curva paramétrica dada por x(t)=t^3 e y(t)=1-t^2. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro para obter a equação cartesiana e análise da forma da curva e sua orientação.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, isolamos t a partir de x=t^3. Isso dá t=raiz[3]x e então t^2=(raiz[3]x)^2=x^2/3. Substituindo em y(t) obtemos:
y=1 - x^2/3

Passo 3

Para ver uma forma implícita equivalente, escrevemos t^2=1-y e elevamos ao cubo:
x^2=(t^3)^2=(t^2)^3=(1-y)^3

Passo 4

Analisamos agora o domínio e a simetria: como t varia em ( -infty, +infty), temos xin(-infty, +infty) e y=1-t^2<=1. A curva é simétrica em relação ao eixo y porque x(t) é função ímpar de t e y(t) é função par.

Passo 5

A orientação segue o crescimento de t: para t indo de -infty a 0, a curva percorre o ramo esquerdo do ponto (-infty,-infty) até o cúspide em (0,1); para t de 0 a +infty, segue do cúspide (0,1) até (+infty,-infty) pelo ramo direito.

Resposta

A equação cartesiana é
y=1-x^2/3,
ou de forma implícita
x^2=(1-y)^3, y<=1
A curva tem um cúspide em (0,1), é simétrica em relação ao eixo y e, ao aumentar t de -infty a +infty, vai do ramo esquerdo inferior ao ponto (0,1) e depois desce pelo ramo direito.

Exercícios relacionados