Determine o número de permutações das letras
nas quais não há letras iguais adjacentes.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o número de permutações das letras A B B C C D D em que nenhuma letra repetida fique colada (ou seja, sem duas iguais adjacentes).”
Conteúdo: permutações com repetição e princípio da inclusão–exclusão.
O que vamos usar:
Conteúdo: permutações com repetição e princípio da inclusão–exclusão.
O que vamos usar:
- Fórmula de permutação com repetições:
- Princípio da inclusão–exclusão pra excluir os arranjos onde Bs, Cs ou Ds ficam juntos.
Passo 2
Primeiro, conta quantas permutações temos sem restrição de adjacência.
Temos 7 letras no total, sendo 2 B, 2 C e 2 D.
Então
Temos 7 letras no total, sendo 2 B, 2 C e 2 D.
Então
Passo 3
A ideia da inclusão–exclusão é: definimos três “eventos”
-
: as duas B estão juntas, -
: as duas C estão juntas, -
: as duas D estão juntas.
Calculamos quantos arranjos têm cada evento, depois combinações de eventos e aplicamos
Agora as subcontagens:
- Só
(duas B juntas): trato “BB” como bloco + A, C, C, D, D → 6 objetos, com 2 C e 2 D repetidos:
Mesma conta dá
e
.
-
(BB juntos e CC juntos): blocos “BB”, “CC” + A + D + D → 5 objetos, com 2 D repetidos:
Analogamente
e
.
-
: blocos “BB”, “CC”, “DD” + A → 4 objetos todos distintos:
Passo 4
Agora aplico o fórmula de inclusão–exclusão:
Fazendo as contas:
630 − 540 + 180 − 24 = 246.
630 − 540 + 180 − 24 = 246.
Resposta
O número de permutações de A B B C C D D sem letras iguais adjacentes é