Determine o número de permutações das letras triang<= ABBCCDD nas quais não há letras iguais adjacentes.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o número de permutações das letras A B B C C D D em que nenhuma letra repetida fique colada (ou seja, sem duas iguais adjacentes).”
Conteúdo: permutações com repetição e princípio da inclusão–exclusão.
O que vamos usar:
  1. Fórmula de permutação com repetições: n!n1!,n2!,cdots
  2. Princípio da inclusão–exclusão pra excluir os arranjos onde Bs, Cs ou Ds ficam juntos.

Passo 2

Primeiro, conta quantas permutações temos sem restrição de adjacência.
Temos 7 letras no total, sendo 2 B, 2 C e 2 D.
Então
#total ;=;7!2!,2!,2! ;=;50402cdot2cdot2 ;=;630

Passo 3

A ideia da inclusão–exclusão é: definimos três “eventos”
  • #válidos = #total - l(#EB+#EC+#EDr) + l(#(EBcap EC)+#(EBcap ED)+#(ECcap ED)r) - #(EBcap ECcap ED) : as duas B estão juntas,
  • #EB = 6!2!,2! = 7204 = 180 : as duas C estão juntas,
  • #(EBcap EC) = 5!2! = 1202 = 60 : as duas D estão juntas.
    Calculamos quantos arranjos têm cada evento, depois combinações de eventos e aplicamos
#(EBcap ECcap ED) = 4! = 24 á
Agora as subcontagens:
  1. (duas B juntas): trato “BB” como bloco + A, C, C, D, D → 6 objetos, com 2 C e 2 D repetidos:
Mesma conta dá e .
  1. (BB juntos e CC juntos): blocos “BB”, “CC” + A + D + D → 5 objetos, com 2 D repetidos:
Analogamente e .
  1. : blocos “BB”, “CC”, “DD” + A → 4 objetos todos distintos:

Passo 4

Agora aplico o fórmula de inclusão–exclusão:
#sem adjacência = 630 - (180+180+180) + (60+60+60) - 24 ê
Fazendo as contas:
630 − 540 + 180 − 24 = 246.

Resposta

O número de permutações de A B B C C D D sem letras iguais adjacentes é

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