Determine o número de permutações de (1,2,3,4, bar5, 6) nas quais nem o 4 ocupa o 4^circ lugar nem o 6 ocupa o 6^circ lugar.

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer contar todas as maneiras de organizar a sequência (1,2,3,4,5,6) em que o “4” não fique na posição 4 e o “6” não fique na posição 6.
Conteúdo: é um problema de permutações com restrições, usando o princípio da inclusão-exclusão.
O que vamos precisar:
  • Saber que o total de permutações de 6 objetos é 6!.
  • Calcular quantas permutações “quebram” cada uma das proibições individualmente (4 na 4ª posição; 6 na 6ª).
  • Calcular quantas permutações quebram ambas as proibições ao mesmo tempo.
  • Aplicar inclusão-exclusão para evitar contagem dupla.

Passo 2

Primeiro, o total de permutações de 6 elementos é
6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720
Esse é nosso “universo” sem nenhuma restrição.

Passo 3

Agora, quantas permutações têm o “4” ocupando a 4ª posição?
Se o “4” já está preso na 4ª, sobram 5 objetos (1,2,3,5,6) para preencher as outras 5 vagas, então
#4 em 4ª = 5! = 120ª

Passo 4

De modo parecido, quantas têm o “6” ocupando a 6ª posição?
Prendendo o “6” lá, restam 5 objetos (1,2,3,4,5) para as demais posições, então
#6 em 6ª = 5! = 120ª

Passo 5

E quantas têm ao mesmo tempo o “4” na 4ª e o “6” na 6ª?
Aí você fixa duas posições, sobrando 4 objetos para 4 vagas, logo
#4 em 4ª e 6 em 6ª = 4! = 24ªª

Passo 6

Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para achar quantas permutações evitam ambas as coisas:
&#nenhum proibido &= 6! ;-;#4 em 4ª;-;#6 em 6ª;+;#4 em 4ª e 6 em 6ª &= 720 ;-;120;-;120;+;24 &= 720 - 240 + 24 = 504 ªªªª

Resposta

O número de permutações em que nem o 4 ocupa o 4º lugar nem o 6 ocupa o 6º lugar é 504.

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