Determine o número de permutações de
nas quais nem o 4 ocupa o
lugar nem o 6 ocupa o
lugar.
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer contar todas as maneiras de organizar a sequência (1,2,3,4,5,6) em que o “4” não fique na posição 4 e o “6” não fique na posição 6.
Conteúdo: é um problema de permutações com restrições, usando o princípio da inclusão-exclusão.
O que vamos precisar:
Conteúdo: é um problema de permutações com restrições, usando o princípio da inclusão-exclusão.
O que vamos precisar:
- Saber que o total de permutações de 6 objetos é
. - Calcular quantas permutações “quebram” cada uma das proibições individualmente (4 na 4ª posição; 6 na 6ª).
- Calcular quantas permutações quebram ambas as proibições ao mesmo tempo.
- Aplicar inclusão-exclusão para evitar contagem dupla.
Passo 2
Primeiro, o total de permutações de 6 elementos é
Esse é nosso “universo” sem nenhuma restrição.
Passo 3
Agora, quantas permutações têm o “4” ocupando a 4ª posição?
Se o “4” já está preso na 4ª, sobram 5 objetos (1,2,3,5,6) para preencher as outras 5 vagas, então
Se o “4” já está preso na 4ª, sobram 5 objetos (1,2,3,5,6) para preencher as outras 5 vagas, então
Passo 4
De modo parecido, quantas têm o “6” ocupando a 6ª posição?
Prendendo o “6” lá, restam 5 objetos (1,2,3,4,5) para as demais posições, então
Prendendo o “6” lá, restam 5 objetos (1,2,3,4,5) para as demais posições, então
Passo 5
E quantas têm ao mesmo tempo o “4” na 4ª e o “6” na 6ª?
Aí você fixa duas posições, sobrando 4 objetos para 4 vagas, logo
Aí você fixa duas posições, sobrando 4 objetos para 4 vagas, logo
Passo 6
Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para achar quantas permutações evitam ambas as coisas:
Resposta
O número de permutações em que nem o 4 ocupa o 4º lugar nem o 6 ocupa o 6º lugar é 504.