Quantos são os inteiros de n dígitos, que têm todos os dígitos pertencentes ao conjunto 1,2,3? Em quantos deles os inteiros 1, 2 e 3 figuram todos?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre números de n dígitos em que cada dígito é 1, 2 ou 3:
  1. Quantos há no total?
  2. Em quantos aparecem os três dígitos 1, 2 e 3 pelo menos uma vez?
Conteúdo: combinatória básica (princípio multiplicativo) e princípio da inclusão-exclusão.
O que vamos usar:
  • Regra do produto para contar escolhas independentes.
  • Fórmula de inclusão-exclusão para “tirar” os casos que não têm algum dígito.

Passo 2

Primeiro, total de números de n dígitos usando só {1,2,3}.
Como cada posição (cada dígito) tem 3 opções e são n posições, por princípio multiplicativo:
Total = 3 times 3 times cdots times 3 = 3^n

Passo 3

Agora queremos contar só aqueles que têm todos os dígitos 1, 2 e 3.
Usamos inclusão-exclusão:
  • Seja o conjunto dos números faltando o dígito 1,
    os faltando o 2, e
    os faltando o 3.
Queremos , ou seja, total menos quem está em algum .

Passo 4

Contagem dos “máus” casos:
  • : números sem 1 → só usam {2,3} → .
  • Igual pra e : cada um vale .
  • Interseção : faltam 1 e 2 → só usam {3} → .
  • Mesma lógica para as outras duas interseções de pares: cada uma dá 1.
  • Tripla interseção : faltam 1,2,3 → não dá número → 0.

Passo 5

Aplicando inclusão-exclusão para achar quem não está em nenhum #tem 1,2 e 3 &= 3^n ;-;l(lvert A1rvert+lvert A2rvert+lvert A3rvertr) ;+;l(lvert A1cap A2rvert+lvert A1cap A3rvert+lvert A2cap A3rvertr) ;-;lvert A1cap A2cap A3rvert &= 3^n - 3cdot2^n + 3cdot1 - 0 &= 3^n - 3cdot2^n + 3 :

Resposta

  • Total de inteiros de n dígitos em :
    .
  • Destes, quantos têm os dígitos 1, 2 e 3 todos presentes pelo menos uma vez:
    .

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