Quantos são os inteiros de n dígitos, que têm todos os dígitos pertencentes ao conjunto
? Em quantos deles os inteiros 1, 2 e 3 figuram todos?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre números de n dígitos em que cada dígito é 1, 2 ou 3:
- Quantos há no total?
- Em quantos aparecem os três dígitos 1, 2 e 3 pelo menos uma vez?
Conteúdo: combinatória básica (princípio multiplicativo) e princípio da inclusão-exclusão.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Regra do produto para contar escolhas independentes.
- Fórmula de inclusão-exclusão para “tirar” os casos que não têm algum dígito.
Passo 2
Primeiro, total de números de n dígitos usando só {1,2,3}.
Como cada posição (cada dígito) tem 3 opções e são n posições, por princípio multiplicativo:
Como cada posição (cada dígito) tem 3 opções e são n posições, por princípio multiplicativo:
Passo 3
Agora queremos contar só aqueles que têm todos os dígitos 1, 2 e 3.
Usamos inclusão-exclusão:
Usamos inclusão-exclusão:
- Seja
o conjunto dos números faltando o dígito 1,
os faltando o 2, e
os faltando o 3.
Queremos
, ou seja, total menos quem está em algum
.
Passo 4
Contagem dos “máus” casos:
-
: números sem 1 → só usam {2,3} → . - Igual pra
e : cada um vale . - Interseção
: faltam 1 e 2 → só usam {3} → . - Mesma lógica para as outras duas interseções de pares: cada uma dá 1.
- Tripla interseção
: faltam 1,2,3 → não dá número → 0.
Passo 5
Aplicando inclusão-exclusão para achar quem não está em nenhum
:
Resposta
- Total de inteiros de n dígitos em
:
. - Destes, quantos têm os dígitos 1, 2 e 3 todos presentes pelo menos uma vez:
.