Determine o número de quádruplas ordenadas de inteiros positivos (x, y, z, w) que satisfazem x cdot y cdot z cdot w=2013.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar quantas quádruplas ordenadas de números inteiros positivos (x, y, z, w) satisfazem a equação x cdot y cdot z cdot w = 2013. Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de números, especificamente a fatoração em primos e o conceito de distribuição de expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 2013 em seus fatores primos. Isso significa quebrar o número em multiplicações de números primos.
2013 = 3 times 11 times 61
Então, 2013 = 3^1 times 11^1 times 61^1.

Passo 3

Agora, queremos distribuir esses fatores primos entre as quatro variáveis x, y, z, w. Cada variável receberá uma parte dos fatores primos. Para cada primo, precisamos decidir em qual das quatro variáveis ele vai ficar.
Como cada primo tem expoente 1, basicamente estamos distribuindo 1 unidade para 4 variáveis. O número de maneiras de fazer isso é igual ao número de variáveis, que é 4.

Passo 4

Temos três primos diferentes: 3, 11 e 61. Para cada um desses primos, temos 4 opções de onde colocá-lo ( x, y, z ou w).
Então, para o primo 3, temos 4 opções, para o primo 11, também 4 opções, e o mesmo para o primo 61.

Passo 5

Para encontrar o total de quádruplas possíveis, multiplicamos as opções de cada primo:
4 times 4 times 4 = 4^3 = 64

Resposta

Existem 64 quádruplas ordenadas de inteiros positivos (x, y, z, w) que satisfazem x cdot y cdot z cdot w = 2013.

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