Determine o número de quádruplas ordenadas de inteiros positivos
que satisfazem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar quantas quádruplas ordenadas de números inteiros positivos
satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de números, especificamente a fatoração em primos e o conceito de distribuição de expoentes.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o número 2013 em seus fatores primos. Isso significa quebrar o número em multiplicações de números primos.
Então,
.
Passo 3
Agora, queremos distribuir esses fatores primos entre as quatro variáveis
. Cada variável receberá uma parte dos fatores primos. Para cada primo, precisamos decidir em qual das quatro variáveis ele vai ficar.
Como cada primo tem expoente 1, basicamente estamos distribuindo 1 unidade para 4 variáveis. O número de maneiras de fazer isso é igual ao número de variáveis, que é 4.
Passo 4
Temos três primos diferentes: 3, 11 e 61. Para cada um desses primos, temos 4 opções de onde colocá-lo (
ou
).
Então, para o primo 3, temos 4 opções, para o primo 11, também 4 opções, e o mesmo para o primo 61.
Passo 5
Para encontrar o total de quádruplas possíveis, multiplicamos as opções de cada primo:
Resposta
Existem 64 quádruplas ordenadas de inteiros positivos
que satisfazem
.