Determine x tal que:
\left|\begin{array}{cc}2 x & 3 x+2 \\\\ 1 & x\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar x tal que o determinante da matriz
\begin{pmatrix}2x & 3x+2 \\[4pt] 1 & x\end{pmatrix}
seja igual a zero. Ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem
\left|\begin{array}{cc}2 x & 3 x+2 \\[4pt] 1 & x\end{array}\right|=0.
Informações dadas: os elementos da matriz dependem de x como mostrado. A incógnita é x. O que se pede é resolver a equação obtida impondo determinante igual a zero.]

Passo 2

Lembrete prático sobre determinante de matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante vale
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz; multiplicamos os elementos da diagonal principal ( a por d) e subtraímos o produto da outra diagonal ( b por c). Esse é o passo mecânico que sempre usamos em prova — memorizou? Ótimo, vamos aplicar.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
a=2x, b=3x+2, c=1, d=x.
Então
\left|\begin{array}{cc}2 x & 3 x+2 \\[4pt] 1 & x\end{array}\right|=(2x)\cdot x - (3x+2)\cdot 1.
Calculemos os produtos:
(2x)\cdot x = 2x^{2}, \qquad (3x+2)\cdot 1 = 3x+2.
Logo a equação determinante = 0 vira
2x^{2} - (3x+2)=0.]

Passo 4

Simplificando a expressão obtemos a equação quadrática
2x^{2} - 3x - 2 = 0.
Agora vamos resolver essa quadrática. Uma maneira eficiente é tentar fatorar. Procuramos fatores do tipo (2x + m)(x + n) cujo produto dê 2x^{2} - 3x - 2. Expandindo hipoteticamente:
(2x + m)(x + n) = 2x^{2} + (2n + m)x + mn.
Queremos mn = -2 e 2n + m = -3. Testando inteiros, escolha m=1 e n=-2:
mn = 1\cdot(-2) = -2, \qquad 2n + m = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3,
funciona. Portanto a fatoração é
2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2).

Passo 5

Da fatoração, para que o produto seja zero basta que um dos fatores seja zero. Assim:
2x+1=0 \quad\text{ou}\quad x-2=0.
Resolvendo cada uma:
2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}, \qquad x-2=0 \Rightarrow x=2.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança na hora da prova): substituir x=2 e x=-\tfrac{1}{2} na matriz original e checar o determinante.
Para x=2: matriz \begin{pmatrix}4 & 8\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}, determinante 4\cdot2-8\cdot1=8-8=0.
Para x=-\tfrac{1}{2}: matriz \begin{pmatrix}-1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, determinante (-1)(-1/2)-(\tfrac{1}{2})(1)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
Ambos funcionam.]

Resposta

x=2
x=-\dfrac{1}{2}

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