seja igual a zero. Ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem
\left|\begin{array}{cc}2 x & 3 x+2 \\[4pt] 1 & x\end{array}\right|=0.
Informações dadas: os elementos da matriz dependem de x como mostrado. A incógnita é x. O que se pede é resolver a equação obtida impondo determinante igual a zero.]
Passo 2
Lembrete prático sobre determinante de matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante vale
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz; multiplicamos os elementos da diagonal principal (a por d) e subtraímos o produto da outra diagonal (b por c). Esse é o passo mecânico que sempre usamos em prova — memorizou? Ótimo, vamos aplicar.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=2x, b=3x+2, c=1, d=x.
Então
\left|\begin{array}{cc}2 x & 3 x+2 \\[4pt] 1 & x\end{array}\right|=(2x)\cdot x - (3x+2)\cdot 1.
Calculemos os produtos:
(2x)\cdot x = 2x^{2}, \qquad (3x+2)\cdot 1 = 3x+2.
Logo a equação determinante = 0 vira
2x^{2} - (3x+2)=0.]
Passo 4
Simplificando a expressão obtemos a equação quadrática
2x^{2} - 3x - 2 = 0.
Agora vamos resolver essa quadrática. Uma maneira eficiente é tentar fatorar. Procuramos fatores do tipo (2x + m)(x + n) cujo produto dê 2x^{2} - 3x - 2. Expandindo hipoteticamente:
(2x + m)(x + n) = 2x^{2} + (2n + m)x + mn.
Queremos mn = -2 e 2n + m = -3. Testando inteiros, escolha m=1 e n=-2: