Determine o número de termos da progressāo
compreendidos entre 100 e 1000.
Passo 1
O enunciado dá a progressão
e pede: determinar quantos termos dessa progressão estão compreendidos entre
e
. Informações fornecidas:
- Primeiro termo:
. - Os termos seguintes:
(ou seja, razão multiplicativa ). - Objetivo: contar quantos termos da sequência pertencem ao intervalo
(ou, de forma usual, "entre e ").
Passo 2
Explicação do que é uma progressão geométrica e fórmula do termo geral (passo-a-passo):
- Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão
. - Se
é o primeiro termo e a razão, o -ésimo termo é dado por
Aqui cada símbolo significa:
-
: o termo de número que queremos calcular; -
: o primeiro termo da progressão; -
: a razão da progressão; -
: índice do termo (um inteiro positivo).
No nosso casoe , então o termo geral é
Passo 3
Agora traduzimos a condição "termos compreendidos entre
e
" para uma desigualdade envolvendo
. Queremos os
tais que
Substituindo
obtemos
O objetivo é achar todos os inteiros
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 4
Vamos comparar com potências inteiras de
. É prático calcular
para
até ultrapassar
:
Observando essas potências vemos que
,
,
e
.
Passo 5
Comparando com a desigualdade
, os expoentes possíveis
são aqueles para os quais
está entre
e
. Pelos cálculos do passo anterior, os expoentes válidos são
Isso dá os índices
Os termos correspondentes são
que de fato estão entre
e
.
Passo 6
Contagem dos termos: são os dois índices
e
. Usando a fórmula geral para contar inteiros de
a
,