Determine o número de termos da progressāo (1,3,9, \ldots) compreendidos entre 100 e 1000.

Passo 1

O enunciado dá a progressão (1,3,9,\ldots) e pede: determinar quantos termos dessa progressão estão compreendidos entre 100 e 1000. Informações fornecidas:
  • Primeiro termo: a_1=1.
  • Os termos seguintes: 3,9,\ldots (ou seja, razão multiplicativa 3).
  • Objetivo: contar quantos termos da sequência pertencem ao intervalo [100,1000] (ou, de forma usual, "entre 100 e 1000").

Passo 2

Explicação do que é uma progressão geométrica e fórmula do termo geral (passo-a-passo):
  • Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão r.
  • Se a_1 é o primeiro termo e r a razão, o n-ésimo termo é dado por
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_n: o termo de número n que queremos calcular;
  • a_1: o primeiro termo da progressão;
  • r: a razão da progressão;
  • n: índice do termo (um inteiro positivo).
    No nosso caso a_1=1 e r=3, então o termo geral é
a_n = 1\cdot 3^{\,n-1} = 3^{\,n-1}.

Passo 3

Agora traduzimos a condição "termos compreendidos entre 100 e 1000" para uma desigualdade envolvendo a_n. Queremos os n tais que
100 \le a_n \le 1000.
Substituindo a_n=3^{\,n-1} obtemos
100 \le 3^{\,n-1} \le 1000.
O objetivo é achar todos os inteiros n que satisfazem essa desigualdade.

Passo 4

Vamos comparar com potências inteiras de 3. É prático calcular 3^k para k=0,1,2,\ldots até ultrapassar 1000:
3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729
3^7 = 2187
Observando essas potências vemos que 3^4=81<100, 3^5=243\ge100, 3^6=729\le1000 e 3^7=2187>1000.

Passo 5

Comparando com a desigualdade 100 \le 3^{\,n-1} \le 1000, os expoentes possíveis n-1 são aqueles para os quais 3^{n-1} está entre 100 e 1000. Pelos cálculos do passo anterior, os expoentes válidos são
n-1 = 5 \quad\text{ou}\quad n-1 = 6.
Isso dá os índices
n = 6 \quad\text{e}\quad n = 7.
Os termos correspondentes são
a_6 = 3^{5} = 243
a_7 = 3^{6} = 729,
que de fato estão entre 100 e 1000.

Passo 6

Contagem dos termos: são os dois índices n=6 e n=7. Usando a fórmula geral para contar inteiros de n_{\min} a n_{\max},
\text{nº de termos} = n_{\max}-n_{\min}+1 = 7-6+1 = 2.º

Resposta

2

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