A probabilidade de um certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma certa data, é 0,4 , e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5 . Qual a probabilidade de:
a) Ambos sobreviveriam mais 10 anos a partir daquela data?
b) Ao menos um deles sobreviveu mais 10 anos a partir daquela data?
a) Ambos sobreviveriam mais 10 anos a partir daquela data?
b) Ao menos um deles sobreviveu mais 10 anos a partir daquela data?
Passo 1
O enunciado dá duas probabilidades e pede duas quantidades.
- Probabilidade do homem sobreviver mais 10 anos:
. - Probabilidade da esposa sobreviver mais 10 anos:
.
O que é pedido:
a) A probabilidade de que ambos (homem e esposa) sobrevivam mais 10 anos a partir daquela data.
b) A probabilidade de que ao menos um deles sobreviva mais 10 anos a partir daquela data.
a) A probabilidade de que ambos (homem e esposa) sobrevivam mais 10 anos a partir daquela data.
b) A probabilidade de que ao menos um deles sobreviva mais 10 anos a partir daquela data.
Passo 2
Vamos definir os eventos e a regra que vamos usar.
- Evento
: “o homem sobrevive mais 10 anos”, com . - Evento
: “a esposa sobrevive mais 10 anos”, com .
Observação importante sobre dependência: o enunciado não informa se a sobrevivência de um depende da do outro. Em problemas elementares como este é padrão assumir que os eventos são independentes quando nada é dito. Independência significa, intuitivamente, que saber que um sobrevive não altera a probabilidade do outro sobreviver. Matematicamente, se
e
são independentes vale
Se não assumirmos independência, não há informação suficiente para calcular
. Vou seguir a hipótese de independência por ser a interpretação usual aqui.
Passo 3
Calcular a probabilidade de ambos sobreviverem usando a regra do produto (independência).
A regra: para eventos independentes e
,
A regra: para eventos independentes
Substituindo os valores dados:
Fazendo a conta de forma bem clara:
e
, então
Passo 4
Calcular a probabilidade de “ao menos um sobreviver”. É mais direto usar o complemento:
- Evento “nenhum sobrevive” é o complemento de “ao menos um sobrevive”.
- Probabilidade de o homem não sobreviver:
. - Probabilidade da esposa não sobreviver:
.
Se assumimos independência,
e
também são independentes, então
Calculando:
Logo, usando o complemento,
Passo 5
Verificação alternativa (fórmula da união). Outra forma de obter “ao menos um” é usar
Substituindo
,
e o
que calculamos:
Confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Observação final curta de cautela: os números acima valem sob a hipótese de independência. Se houvesse informação de dependência entre as sobrevivências, seria preciso essa informação para calcular as probabilidades conjuntas e da união.
Resposta
a)
b)
b)