A probabilidade de um certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma certa data, é 0,4 , e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5 . Qual a probabilidade de:
a) Ambos sobreviveriam mais 10 anos a partir daquela data?
b) Ao menos um deles sobreviveu mais 10 anos a partir daquela data?

Passo 1

O enunciado dá duas probabilidades e pede duas quantidades.
  • Probabilidade do homem sobreviver mais 10 anos: P(M)=0,4.
  • Probabilidade da esposa sobreviver mais 10 anos: P(W)=0,5.
O que é pedido:
a) A probabilidade de que ambos (homem e esposa) sobrevivam mais 10 anos a partir daquela data.
b) A probabilidade de que ao menos um deles sobreviva mais 10 anos a partir daquela data.

Passo 2

Vamos definir os eventos e a regra que vamos usar.
  • Evento M: “o homem sobrevive mais 10 anos”, com P(M)=0,4.
  • Evento W: “a esposa sobrevive mais 10 anos”, com P(W)=0,5.
Observação importante sobre dependência: o enunciado não informa se a sobrevivência de um depende da do outro. Em problemas elementares como este é padrão assumir que os eventos são independentes quando nada é dito. Independência significa, intuitivamente, que saber que um sobrevive não altera a probabilidade do outro sobreviver. Matematicamente, se M e W são independentes vale
P(M\cap W)=P(M)\,P(W).
Se não assumirmos independência, não há informação suficiente para calcular P(M\cap W). Vou seguir a hipótese de independência por ser a interpretação usual aqui.

Passo 3

Calcular a probabilidade de ambos sobreviverem usando a regra do produto (independência).
A regra: para eventos independentes M e W,
P(M\cap W)=P(M)\,P(W).
Substituindo os valores dados:
P(M\cap W)=0,4\cdot0,5.
Fazendo a conta de forma bem clara: 0,4=\tfrac{2}{5} e 0,5=\tfrac{1}{2}, então
P(M\cap W)=\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{10}=\tfrac{1}{5}=0,2.

Passo 4

Calcular a probabilidade de “ao menos um sobreviver”. É mais direto usar o complemento:
  • Evento “nenhum sobrevive” é o complemento de “ao menos um sobrevive”.
  • Probabilidade de o homem não sobreviver: P(M^c)=1-P(M)=1-0,4=0,6.
  • Probabilidade da esposa não sobreviver: P(W^c)=1-P(W)=1-0,5=0,5.
Se assumimos independência, M^c e W^c também são independentes, então
P(\text{nenhum})=P(M^c\cap W^c)=P(M^c)\,P(W^c)=0,6\cdot0,5.
Calculando:
P(M^c\cap W^c)=0,6\cdot0,5=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{10}=0,3.
Logo, usando o complemento,
P(\text{ao menos um})=1-P(\text{nenhum})=1-0,3=0,7.

Passo 5

Verificação alternativa (fórmula da união). Outra forma de obter “ao menos um” é usar
P(M\cup W)=P(M)+P(W)-P(M\cap W).
Substituindo P(M)=0,4, P(W)=0,5 e o P(M\cap W)=0,2 que calculamos:
P(M\cup W)=0,4+0,5-0,2=0,7.
Confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Observação final curta de cautela: os números acima valem sob a hipótese de independência. Se houvesse informação de dependência entre as sobrevivências, seria preciso essa informação para calcular as probabilidades conjuntas e da união.

Resposta

a) 0,2 = \tfrac{1}{5}
b) 0,7 = \tfrac{7}{10}

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