Determine o número total
de estados de energia entre
e
para:
b. GaAs
: (i)
(ii)
Equação
.
b. GaAs
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Pede: o número total de estados de energia (densidade de estados integrada por volume, em
) entre e para GaAs com , nos dois casos: - (i)
- (ii)
- (i)
-
Dados fornecidos e úteis (peguei do enunciado):
- Fórmula da densidade de estados no bordo de banda (condução) dada:
- Para a banda de valência usamos a fórmula análoga trocando
por e por (porque estamos abaixo de ). - Valor da massa efetiva do buraco:
. - Constantes físicas que vamos usar:
- massa de repouso do elétron:
. - constante de Boltzmann:
. - constante reduzida de Planck:
.
- massa de repouso do elétron:
- Fórmula da densidade de estados no bordo de banda (condução) dada:
-
Observação: o enunciado pede resposta em
. Cálculos em unidades SI dão resultado em ; no final converto para dividindo por (pois ).
Passo 2
Escrever a densidade de estados da banda de valência e a integral que dá o número total de estados no intervalo pedido.
- A densidade de estados por unidade de volume na banda de valência próxima ao topo
tem forma análoga à da condução, trocando massa e invertendo o argumento da raiz. Assim:
- O número total de estados por unidade de volume entre
e é a integral
Passo 3
Fazer a mudança de variável para integrar com facilidade e lembrar como integrar
.
- Defina a variável de integração
. Então quando tem e quando tem . Além disso . - A integral vira (trocando os limites para ordem crescente em
):
- Fórmula útil: para
,
Aqui
, logo
.
Passo 4
Executar a integral e obter a expressão fechada para
.
- Aplicando a fórmula:
- Podemos simplificar um pouco: o fator
do numerador do integrando e o do denominador se cancelam parcialmente, mas vou deixar a expressão explícita para cálculo numérico:
Passo 5
Preparar para calcular numericamente: listar as constantes e calcular
numérico.
- Massa efetiva:
- Para organizar o cálculo defino o prefator
Vou calcular
numericamente (em SI) e depois computar
para cada
.
Passo 6
Cálculo numérico do prefator
.
- Primeiro
- Calcular
. Procedimento: . -
(cálculo direto). - Logo
-
- Agora
- E
- Portanto
(A nota: esse número tem unidades compatíveis para que, ao multiplicar por
, resulte em
.)
Passo 7
Calcular
para
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Agora
:
- Converter para
: dividir por :
- Arredondando com 3 algarismos significativos:
Passo 8
Calcular
para
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Agora
:
- Converter para
:
- Arredondando com 3 algarismos significativos: