Determine o número total \left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{-3}\right) de estados de energia entre E_{v}-3 k T e E_{v} para:
b. GaAs \left(m_{p}^{*}=0,48 m_{0}\right) : (i) T=300 \mathrm{Ke} (ii) T=400 \mathrm{~K}
Equação g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3 / 2}}{2 \pi^{2} \hbar^{3}} \sqrt{E-E_{c}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: o número total de estados de energia (densidade de estados integrada por volume, em \mathrm{cm}^{-3}) entre \,E_{v}-3kT e \,E_{v} para GaAs com m_{p}^{*}=0{,}48\,m_{0}, nos dois casos:
    • (i) T=300\\ \mathrm{K}
    • (ii) T=400\\ \mathrm{K}
  • Dados fornecidos e úteis (peguei do enunciado):
    • Fórmula da densidade de estados no bordo de banda (condução) dada: g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E-E_{c}}.
    • Para a banda de valência usamos a fórmula análoga trocando m_{n}^{*} por m_{p}^{*} e \sqrt{E-E_{c}} por \sqrt{E_{v}-E} (porque estamos abaixo de E_{v}).
    • Valor da massa efetiva do buraco: \,m_{p}^{*}=0{,}48\,m_{0}.
    • Constantes físicas que vamos usar:
      • massa de repouso do elétron: \,m_{0}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
      • constante de Boltzmann: \,k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
      • constante reduzida de Planck: \,\hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Observação: o enunciado pede resposta em \mathrm{cm}^{-3}. Cálculos em unidades SI dão resultado em \mathrm{m}^{-3}; no final converto para \mathrm{cm}^{-3} dividindo por 10^{6} (pois 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}).

Passo 2

Escrever a densidade de estados da banda de valência e a integral que dá o número total de estados no intervalo pedido.
  • A densidade de estados por unidade de volume na banda de valência próxima ao topo E_{v} tem forma análoga à da condução, trocando massa e invertendo o argumento da raiz. Assim:
g_{v}(E)=\frac{\left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E_{v}-E}.
  • O número total de estados por unidade de volume entre E=E_{v}-3kT e E=E_{v} é a integral
N=\int_{E_{v}-3kT}^{E_{v}} g_{v}(E)\,dE.

Passo 3

Fazer a mudança de variável para integrar com facilidade e lembrar como integrar \sqrt{\cdot}.
  • Defina a variável de integração \varepsilon = E_{v}-E. Então quando E=E_{v}-3kT tem \varepsilon=3kT e quando E=E_{v} tem \varepsilon=0. Além disso dE = -d\varepsilon.
  • A integral vira (trocando os limites para ordem crescente em \varepsilon):
N=\int_{0}^{3kT}\frac{\left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{\varepsilon}\,d\varepsilon.
  • Fórmula útil: para \alpha>-1,
\int_{0}^{a} \varepsilon^{\alpha}\,d\varepsilon=\frac{a^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}, logo \int_{0}^{a}\sqrt{\varepsilon}\,d\varepsilon=\frac{2}{3}a^{3/2}.

Passo 4

Executar a integral e obter a expressão fechada para N.
  • Aplicando a fórmula:
N=\frac{\left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\cdot\frac{2}{3}(3kT)^{3/2}.
  • Podemos simplificar um pouco: o fator 2 do numerador do integrando e o 2 do denominador se cancelam parcialmente, mas vou deixar a expressão explícita para cálculo numérico:
N=\frac{2}{3}\cdot\frac{\left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\,(3kT)^{3/2}.

Passo 5

Preparar para calcular numericamente: listar as constantes e calcular m_{p}^{*} numérico.
  • Massa efetiva:
m_{p}^{*}=0{,}48\,m_{0}=0{,}48\times9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}=4{,}37250331\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Para organizar o cálculo defino o prefator
P=\frac{\left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}.
Vou calcular P numericamente (em SI) e depois computar N para cada T.

Passo 6

Cálculo numérico do prefator P.
  • Primeiro 2m_{p}^{*}=8{,}74500662\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Calcular \left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}. Procedimento: \left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}=(2m_{p}^{*})\sqrt{2m_{p}^{*}}.
    • \sqrt{2m_{p}^{*}}\approx9{,}353\times10^{-16}\\ \mathrm{kg}^{1/2} (cálculo direto).
    • Logo \left(2m_{p}^{*}\right)^{3/2}\approx8{,}74500662\times10^{-31}\times9{,}353\times10^{-16}=8{,}176\times10^{-46}\\ \mathrm{kg}^{3/2}.
  • Agora \hbar^{3}=(1{,}054571817\times10^{-34})^{3}\approx1{,}172\times10^{-102}\\ \mathrm{J^{3}s^{3}}.
  • E 2\pi^{2}\approx19{,}7392088.
  • Portanto
P=\frac{8{,}176\times10^{-46}}{19{,}7392088\times1{,}172\times10^{-102}} \approx3{,}532\times10^{55}\\ \text{(SI base)}.
(A nota: esse número tem unidades compatíveis para que, ao multiplicar por (\text{J})^{3/2}, resulte em \mathrm{m}^{-3}.)

Passo 7

Calcular N para T=300\\ \mathrm{K}.
  • Calcular 3kT:
3kT=3\times1{,}380649\times10^{-23}\times300=1{,}2425841\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  • Calcular (3kT)^{3/2}:
(3kT)^{3/2}\approx1{,}2425841\times10^{-20}\times\sqrt{1{,}2425841\times10^{-20}} \approx1{,}38638\times10^{-30}\\ \mathrm{J}^{3/2}.
  • Agora N:
N=\frac{2}{3}\,P\,(3kT)^{3/2} \approx\frac{2}{3}\times3{,}532\times10^{55}\times1{,}38638\times10^{-30} \approx3{,}2639\times10^{25}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Converter para \mathrm{cm}^{-3}: dividir por 10^{6}:
N\approx3{,}2639\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Arredondando com 3 algarismos significativos: \,3{,}26\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}.

Passo 8

Calcular N para T=400\\ \mathrm{K}.
  • Calcular 3kT:
3kT=3\times1{,}380649\times10^{-23}\times400=1{,}6567788\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  • Calcular (3kT)^{3/2}:
(3kT)^{3/2}\approx1{,}6567788\times10^{-20}\times\sqrt{1{,}6567788\times10^{-20}} \approx2{,}1320\times10^{-30}\\ \mathrm{J}^{3/2}.
  • Agora N:
N=\frac{2}{3}\,P\,(3kT)^{3/2} \approx\frac{2}{3}\times3{,}532\times10^{55}\times2{,}1320\times10^{-30} \approx5{,}0207\times10^{25}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Converter para \mathrm{cm}^{-3}:
N\approx5{,}0207\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Arredondando com 3 algarismos significativos: \,5{,}02\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}.

Resposta

T=300\\ \mathrm{K}:\quad 3{,}26\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}\n
T=400\\ \mathrm{K}:\quad 5{,}02\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}

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