Determine o número total
de estados de energia entre
e
para:
b. GaAs
: (i)
e (ii)
Equação
.
b. GaAs
Passo 1
O enunciado pede o número total de estados de energia (por volume) entre
e
para GaAs com
, nos dois casos (i)
e (ii)
.
Informações dadas e fixas:
Informações dadas e fixas:
- A densidade de estados (por unidade de energia e por volume) na banda de condução é
- Queremos o número total de estados por volume entre
e , isto é a integral de de até .
Constantes físicas que vou usar (valores SI):
Vou reportar o resultado final em
.
Passo 2
Montando a integral pedida. O número de estados por volume entre
e
é
Faço a mudança
(energia medida a partir do fundo de banda). Então os limites ficam de
até
e
Explicação curta do que aparece:
é um fator que vem da contagem de estados quânticos em 3D para elétrons com massa efetiva
;
mostra que o número de estados cresce com a raiz da energia acima do fundo de banda.
Passo 3
Calculo da integral. A integral básica é
. Aplicando:
Agora simplifico os fatores numéricos. Primeiro reúno:
Reescrevendo para simplificar as potências de
:
Observação: aqui usei a álgebra de potências:
, e um fator
do denominador cancela corretamente, resultando no fator
.
Passo 4
Agora vou calcular numericamente. Primeiro obtenho a massa efetiva numérica:
Para evitar repetir cálculos, calculo o produto
para cada
, depois eleva a
.
Passo 5
Caso (i):
.
Elevo à potência
:
Agora o prefactor numérico:
Calculo
.
Multiplico o prefactor pelo
:
Converto para
(divido por
, pois
):
Passo 6
Caso (ii):
.
Multiplico pelo mesmo prefactor calculado antes:
Converto para
:
Passo 7
Interpretação breve (pra te dar confiança): os resultados têm a forma
. Isso significa que, ao aumentar a temperatura, a faixa energética
aumenta em energia e a ocupação de estados (ou só o número de estados disponíveis na janela) cresce aproximadamente como
; por isso o valor em
é maior que em
.