Determine o número total \left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{-3}\right) de estados de energia entre E_{c} e E_{c}+2 k T para:
b. GaAs \left(m_{n}^{*}=0,067 m_{0}\right) : (i) T=300 \mathrm{~K} e (ii) T=400 \mathrm{~K}
Equação g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3 / 2}}{2 \pi^{2} \hbar^{3}} \sqrt{E-E_{c}}.

Passo 1

O enunciado pede o número total de estados de energia (por volume) entre E_{c} e E_{c}+2kT para GaAs com m_{n}^{*}=0,067\,m_{0}, nos dois casos (i) T=300\\ \mathrm{K} e (ii) T=400\\ \mathrm{K}.
Informações dadas e fixas:
  • A densidade de estados (por unidade de energia e por volume) na banda de condução é
g_{c}(E)=\frac{\left(2m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E-E_{c}}.
  • Queremos o número total de estados por volume entre E_{c} e E_{c}+2kT, isto é a integral de g_{c}(E) de E=E_{c} até E=E_{c}+2kT.
    Constantes físicas que vou usar (valores SI):
m_{0}=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\qquad \hbar=1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s},\qquad k=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Vou reportar o resultado final em \mathrm{cm}^{-3}.

Passo 2

Montando a integral pedida. O número de estados por volume entre E_{c} e E_{c}+2kT é
N=\int_{E_{c}}^{E_{c}+2kT} g_{c}(E)\,dE.
Faço a mudança \varepsilon=E-E_{c} (energia medida a partir do fundo de banda). Então os limites ficam de \varepsilon=0 até \varepsilon=2kT e
N=\int_{0}^{2kT} \frac{\left(2m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{\varepsilon}\,d\varepsilon.
Explicação curta do que aparece: \left(2m_{n}^{*}\right)^{3/2}/(2\pi^{2}\hbar^{3}) é um fator que vem da contagem de estados quânticos em 3D para elétrons com massa efetiva m_{n}^{*}; \sqrt{\varepsilon} mostra que o número de estados cresce com a raiz da energia acima do fundo de banda.

Passo 3

Calculo da integral. A integral básica é \int_{0}^{a}\sqrt{\varepsilon}\,d\varepsilon=\tfrac{2}{3}a^{3/2}. Aplicando:
N=\frac{\left(2m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\cdot\frac{2}{3}\,(2kT)^{3/2}.
Agora simplifico os fatores numéricos. Primeiro reúno:
N=\frac{2}{3}\frac{\left(2m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}(2kT)^{3/2}.
Reescrevendo para simplificar as potências de 2:
N=\frac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}\,(m_{n}^{*}kT)^{3/2}.
Observação: aqui usei a álgebra de potências: (2m)^{3/2}(2)^{3/2} = 2^{3/2}2^{3/2} m^{3/2}=2^{3} m^{3/2}=8 m^{3/2}, e um fator 1/2 do denominador cancela corretamente, resultando no fator \tfrac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}.

Passo 4

Agora vou calcular numericamente. Primeiro obtenho a massa efetiva numérica:
m_{n}^{*}=0,067\,m_{0}=0,067\times9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}=6,10329\times10^{-32}\\ \mathrm{kg}.
Para evitar repetir cálculos, calculo o produto m_{n}^{*}kT para cada T, depois eleva a 3/2.

Passo 5

Caso (i): T=300\\ \mathrm{K}.
kT=1,380649\times10^{-23}\times300=4,141947\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
m_{n}^{*}kT=6,10329\times10^{-32}\times4,141947\times10^{-21}=2,5280\times10^{-52}\\ (\text{SI}).
Elevo à potência 3/2:
(m_{n}^{*}kT)^{3/2}=(2,5280\times10^{-52})^{3/2}=4,018\times10^{-78}.
Agora o prefactor numérico:
\frac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}.
Calculo \hbar^{3}=(1,054571817\times10^{-34})^{3}=1,1720\times10^{-102}\\ \mathrm{J^{3}s^{3}}.
\frac{8}{3\pi^{2}}=\frac{8}{3\times9,8696044}=0,27030\ldots
\frac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}=\frac{0,27030}{1,1720\times10^{-102}}=2,307\times10^{101}.
Multiplico o prefactor pelo (m_{n}^{*}kT)^{3/2}:
N_{\text{(m}^{-3})}=2,307\times10^{101}\times4,018\times10^{-78}=9,27\times10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Converto para \mathrm{cm^{-3}} (divido por 10^{6}, pois 1\\ \mathrm{m^{3}}=10^{6}\\ \mathrm{cm^{3}}):
N_{T=300\\ \mathrm{K}}=9,27\times10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 6

Caso (ii): T=400\\ \mathrm{K}.
kT=1,380649\times10^{-23}\times400=5,522596\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
m_{n}^{*}kT=6,10329\times10^{-32}\times5,522596\times10^{-21}=3,3706\times10^{-52}.
(m_{n}^{*}kT)^{3/2}=(3,3706\times10^{-52})^{3/2}=6,191\times10^{-78}.
Multiplico pelo mesmo prefactor calculado antes:
N_{\text{(m}^{-3})}=2,307\times10^{101}\times6,191\times10^{-78}=1,429\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Converto para \mathrm{cm^{-3}}:
N_{T=400\\ \mathrm{K}}=1,429\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 7

Interpretação breve (pra te dar confiança): os resultados têm a forma N\propto (kT)^{3/2}. Isso significa que, ao aumentar a temperatura, a faixa energética 2kT aumenta em energia e a ocupação de estados (ou só o número de estados disponíveis na janela) cresce aproximadamente como T^{3/2}; por isso o valor em 400\\ \mathrm{K} é maior que em 300\\ \mathrm{K}.

Resposta

N_{T=300\\ \mathrm{K}}=9,27\times10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}
N_{T=400\\ \mathrm{K}}=1,43\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}

Exercícios relacionados