Determine o número total \left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{-3}\right) de estados de energia entre E_{v}-3 k T e E_{v} para:
a. Silício \left(m_{p}^{*}=0,56 m_{0}\right): (i) T=300 \mathrm{Ke} (ii) T=400 \mathrm{~K}
Equação g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3 / 2}}{2 \pi^{2} \hbar^{3}} \sqrt{E-E_{c}}.

Passo 1

O enunciado pede o número total de estados de energia entre \,E_{v}-3kT e \,E_{v} (unidades \mathrm{cm}^{-3}) para silício com \,m_{p}^{*}=0{,}56\,m_{0}, nos casos:
  • \,T=300\\ \mathrm{K}
  • \,T=400\\ \mathrm{K}
Informações fornecidas e constantes que usaremos (pego do enunciado onde aplicável):
  • A densidade de estados para a banda de condução é dada por
g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E-E_{c}}.
  • A massa efetiva de buracos: \,m_{p}^{*}=0{,}56\,m_{0}.
  • Constantes físicas (valores numéricos que usarei):
m_{0}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \qquad \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad k_{B}=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Observação: a integral que vamos calcular dará originalmente número de estados por metro cúbico; depois converterei para \mathrm{cm}^{-3} usando 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 2

Construir a densidade de estados na banda de valência (análogo à dada para a banda de condução). Pelo mesmo raciocínio, trocando \,m_{n}^{*} por \,m_{p}^{*} e E_{c} por E_{v}, obtemos:
g_{v}(E)=\frac{\left(2 m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E_{v}-E}.
Explicando as variáveis:
  • \,g_{v}(E) é a densidade de estados por unidade de energia por unidade de volume (unidade \mathrm{J}^{-1}\mathrm{m}^{-3}).
  • \,m_{p}^{*} é a massa efetiva dos buracos (em kg).
  • \,\hbar é a constante reduzida de Planck.
  • \,E_{v} é a energia do topo da banda de valência; para contar estados entre \,E_{v}-3kT e \,E_{v} usamos a raiz \sqrt{E_{v}-E} porque estamos abaixo do topo.

Passo 3

Escrever a integral que dá o número total de estados por unidade de volume no intervalo pedido:
N=\int_{E_{v}-3kT}^{E_{v}} g_{v}(E)\,dE =\int_{E_{v}-3kT}^{E_{v}}\frac{\left(2 m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E_{v}-E}\,dE.
Fazer a mudança de variável \xi=E_{v}-E. Quando E=E_{v} então \xi=0; quando E=E_{v}-3kT então \xi=3kT. E dE=-d\xi, portanto a integral vira (trocando os limites adequadamente):
N=\frac{\left(2 m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\int_{0}^{3kT}\sqrt{\xi}\,d\xi.
Defino a constante
A\equiv\frac{\left(2 m_{p}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}.

Passo 4

Calcular a integral elementar:
\int_{0}^{3kT}\sqrt{\xi}\,d\xi=\int_{0}^{3kT}\xi^{1/2}d\xi=\left.\frac{2}{3}\xi^{3/2}\right|_{0}^{3kT}=\frac{2}{3}(3kT)^{3/2}.
Logo
N=A\cdot\frac{2}{3}(3kT)^{3/2}.
Agora simplifico A e os fatores numéricos. Note que
A=\frac{(2m_{p}^{*})^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}=\frac{\sqrt{2}\,(m_{p}^{*})^{3/2}}{\pi^{2}\hbar^{3}}
(e porque (2)^{3/2}/2=2^{1/2}=\sqrt{2}). Assim
N=\frac{\sqrt{2}\,(m_{p}^{*})^{3/2}}{\pi^{2}\hbar^{3}}\cdot\frac{2}{3}(3kT)^{3/2}.
Agrupando fatores \sqrt{2} e (3)^{3/2}:
(3)^{3/2}\sqrt{2}=3\sqrt{3}\sqrt{2}=3\sqrt{6},
portanto
N=\frac{2\sqrt{6}}{\pi^{2}\hbar^{3}}\,(m_{p}^{*}kT)^{3/2}.
Esta é uma forma compacta conveniente para avaliar numericamente:
\boxed{\,N=\frac{2\sqrt{6}}{\pi^{2}\hbar^{3}}\,(m_{p}^{*}kT)^{3/2}\,}
(Lembrete: este N está em unidades de \mathrm{m}^{-3}; para obter \mathrm{cm}^{-3} divide-se por 10^{6}.)

Passo 5

Calcular numericamente o prefator \,C=\dfrac{2\sqrt{6}}{\pi^{2}\hbar^{3}}.
Usando valores:
\hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad \pi^{2}\approx9{,}869604401, \qquad 2\sqrt{6}\approx4{,}898979486.
Primeiro \hbar^{3}\approx1{,}1733699\times10^{-102}\\ \mathrm{J^{3}s^{3}}. Então
C=\frac{4{,}898979486}{9{,}869604401\cdot 1{,}1733699\times10^{-102}} \approx 4{,}22764815\times10^{101}\\ \mathrm{J^{-3}s^{-3}}.
(Manteremos aqui poucas casas significativas compatíveis com os dados.)

Passo 6

Calcular para \,T=300\\ \mathrm{K}.
  1. Massa efetiva numérica:
m_{p}^{*}=0{,}56\,m_{0}=0{,}56\times 9{,}10938356\times10^{-31} \approx 5{,}10125679\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  1. Calcular (m_{p}^{*}kT)^{3/2}:
m_{p}^{*}kT=5{,}10125679\times10^{-31}\times 1{,}380649\times10^{-23}\times 300 \approx 2{,}11291401\times10^{-51}\\ \text{(SI)}.
Tomando potência 3/2:
(m_{p}^{*}kT)^{3/2}\approx 9{,}712\times10^{-77}.
  1. Agora N em \mathrm{m}^{-3}:
N=C\cdot(m_{p}^{*}kT)^{3/2}\approx 4{,}22764815\times10^{101}\times 9{,}712\times10^{-77} \approx 4{,}1055\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  1. Converter para \mathrm{cm^{-3}} (dividir por 10^{6}):
N(300\\ \mathrm{K})\approx 4{,}1055\times10^{19}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 7

Calcular para \,T=400\\ \mathrm{K}. Como a expressão escala como T^{3/2}, é eficiente usar a razão:
\frac{N(400)}{N(300)}=\left(\frac{400}{300}\right)^{3/2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3/2}\approx 1{,}539600717.
Portanto
N(400)\approx N(300)\times 1{,}539600717\approx 4{,}1055\times10^{19}\times1{,}5396 \approx 6{,}321\times10^{19}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio (para decorar e aplicar na prova):
  • Troca-se a expressão de densidade de estados da banda de condução para a de valência substituindo massas e trocando o sinal dentro da raiz.
  • Integra-se de \,E_{v}-3kT até \,E_{v}; com mudança \xi=E_{v}-E fica uma integral simples de \xi^{1/2}.
  • O resultado tem dependência (m_{p}^{*}kT)^{3/2} e cresce com T^{3/2}.
  • Converter unidades no final para \mathrm{cm}^{-3}.

Resposta

\;N(300\\ \mathrm{K})\approx 4{,}11\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}\n
\;N(400\\ \mathrm{K})\approx 6{,}32\times10^{19}\\ \mathrm{cm}^{-3}

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