Determine o número total \left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{-3}\right) de estados de energia entre E_{v}-3 k T e E_{v} para:
a. Silício \left(m_{p}^{*}=0,56 m_{0}\right): (i) T=300 \mathrm{Ke} (ii) T=400 \mathrm{~K}
O enunciado pede o número total de estados de energia entre \,E_{v}-3kT e \,E_{v} (unidades \mathrm{cm}^{-3}) para silício com \,m_{p}^{*}=0{,}56\,m_{0}, nos casos:
\,T=300\\ \mathrm{K}
\,T=400\\ \mathrm{K}
Informações fornecidas e constantes que usaremos (pego do enunciado onde aplicável):
A densidade de estados para a banda de condução é dada por
Observação: a integral que vamos calcular dará originalmente número de estados por metro cúbico; depois converterei para \mathrm{cm}^{-3} usando 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}.
Passo 2
Construir a densidade de estados na banda de valência (análogo à dada para a banda de condução). Pelo mesmo raciocínio, trocando \,m_{n}^{*} por \,m_{p}^{*} e E_{c} por E_{v}, obtemos:
\,g_{v}(E) é a densidade de estados por unidade de energia por unidade de volume (unidade \mathrm{J}^{-1}\mathrm{m}^{-3}).
\,m_{p}^{*} é a massa efetiva dos buracos (em kg).
\,\hbar é a constante reduzida de Planck.
\,E_{v} é a energia do topo da banda de valência; para contar estados entre \,E_{v}-3kT e \,E_{v} usamos a raiz \sqrt{E_{v}-E} porque estamos abaixo do topo.
Passo 3
Escrever a integral que dá o número total de estados por unidade de volume no intervalo pedido:
Fazer a mudança de variável \xi=E_{v}-E. Quando E=E_{v} então \xi=0; quando E=E_{v}-3kT então \xi=3kT. E dE=-d\xi, portanto a integral vira (trocando os limites adequadamente):