Mostre que:
|llllx & 1 & 1 & 1 1 & x & 1 & 1 1 & 1 & x & 1 1 & 1 & 1 & x|=(x-1)^3(x+3)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M = x & 1 & 1 & 1 [6pt] 1 & x & 1 & 1 [6pt] 1 & 1 & x & 1 [6pt] 1 & 1 & 1 & x
é
det(M) = (x-1)^3 (x+3)
O conteúdo envolve propriedades de determinantes e operações elementares de linha.]

Passo 2

Aplicamos a operação de linha
Ri Ri - R1, i=2,3,4,
que não altera o valor do determinante. Isso transforma M em
x & 1 & 1 & 1 [3pt] 1 - x & x - 1 & 0 & 0 [3pt] 1 - x & 0 & x - 1 & 0 [3pt] 1 - x & 0 & 0 & x - 1 ]

Passo 3

Nas linhas 2,3,4 podemos fatorar (x-1) de cada uma, extraindo um fator (x-1)^3 do determinante:
det(M) = (x-1)^3 x & 1 & 1 & 1 [3pt] -1 & 1 & 0 & 0 [3pt] -1 & 0 & 1 & 0 [3pt] -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Para computar o determinante restante, expandimos ao longo da primeira coluna:
x & 1 & 1 & 1 [3pt] -1 & 1 & 0 & 0 [3pt] -1 & 0 & 1 & 0 [3pt] -1 & 0 & 0 & 1 &= x cdot 1&0&00&1&00&0&1 +(-1),(-1)^2+11&1&10&1&00&0&1[6pt] &+(-1),(-1)^3+11&1&11&0&00&0&1 +(-1),(-1)^4+11&1&11&0&00&1&0[6pt] &= xcdot1 ;+;1cdot1;+;1cdot1;+;1cdot1 ;=; x+3 ]

Resposta

det(M) = (x-1)^3,(x+3)

Exercícios relacionados