Determine os números reais a, b, c e d para que as identidades de polinômios sejam verdadeiras:
(a+5) x^{3}+(1-b) x^{2}+(2 c-1) x+(d+2) \equiv \mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os reais a, b, c e d de modo que o polinômio
(a+5)x^{3} + (1-b)x^{2} + (2c-1)x + (d+2)
seja identicamente zero. O conteúdo usado é a condição de igualdade de polinômios: todos os coeficientes devem se anular.

Passo 2

Para que
(a+5)x^{3} + (1-b)x^{2} + (2c-1)x + (d+2) \equiv 0
é necessário que cada coeficiente seja zero. Logo:
a + 5 = 0,\quad 1 - b = 0,\quad 2c - 1 = 0,\quad d + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo cada equação:
a + 5 = 0\implies a = -5,
1 - b = 0\implies b = 1,
2c - 1 = 0\implies c = \tfrac{1}{2},
d + 2 = 0\implies d = -2.

Resposta

a = -5, b = 1, c = \tfrac{1}{2}, d = -2.

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