Determine os números reais a, b, c e d para que as identidades de polinômios sejam verdadeiras: (b+d) x^{4}+(d+a) x^{3}+(a-c) x^{2}+(c+b) x=4 x^{4}+2 x^{2}. Passo 1O enunciado pede para encontrar os reais a,b,c,d tais que a identidade de polinômios (b+d)x^{4} \;+\;(d+a)x^{3}\;+\;(a-c)x^{2}\;+\;(c+b)x \;=\;4x^{4}+2x^{2} seja verdadeira para todo x. Vamos usar correspondência de coeficientes para resolver. Passo 2Igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema \begin{cases} b + d = 4,\\\ d + a = 0,\\\ a - c = 2,\\\ c + b = 0. \end{cases} Passo 3Da segunda equação d + a = 0 vem d = -a. Da quarta equação c + b = 0 vem c = -b. Substituindo d = -a na primeira equação b + d = 4 dá b - a = 4\quad\Longrightarrow\quad b = a + 4. E substituindo c=-b na terceira equação a - c = 2 dá a - (-b) = 2\quad\Longrightarrow\quad a + b = 2. Usando b = a+4 nessa última: a + (a+4) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2a + 4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = -1. Passo 4Agora calculamos os demais: b = a + 4 = -1 + 4 = 3,\quad c = -b = -3,\quad d = -a = 1. Resposta a = -1,\; b = 3,\; c = -3,\; d = 1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine números reais a, b, c e d tais que f(x)+2 g(x)-3 h(x)=-3 x^{4}+5 x^{3}-3 x^{2}+x+2, sabendo que f(x)=a x^{3}+2 x^{2}-x+d, g(x)=x^{3}+b x^{2}-2 x-4 e h(x)=x^{4}+2 x^{3}+d x^{2}+c x+c. Determine os números reais a, b, c e d para que as identidades de polinômios sejam verdadeiras: (b+d) x^{4}+(d+a) x^{3}+(a-c) x^{2}+(c+b) x=4 x^{4}+2 x^{2}. Dado o polinômio g(x), determine, em cada item, o polinômio f(x), satisfazendo a condição indicada: f(x)+g(x)=\mathbf{0}, g(x)=x^{2}-x+3. Dado o polinômio g(x), determine, em cada item, o polinômio f(x), satisfazendo a condição indicada: f(x)+g(x)=\mathbf{0}, g(x)=x^{2}-x+3.