Determine números reais a, b, c e d tais que
f(x)+2 g(x)-3 h(x)=-3 x^{4}+5 x^{3}-3 x^{2}+x+2,
sabendo que f(x)=a x^{3}+2 x^{2}-x+d, g(x)=x^{3}+b x^{2}-2 x-4 e h(x)=x^{4}+2 x^{3}+d x^{2}+c x+c.

Passo 1

O enunciado pede para achar a,b,c,d\in\mathbb{R} de modo que
f(x)+2\,g(x)-3\,h(x)=-3x^4+5x^3-3x^2+x+2,
sabendo
f(x)=a x^3+2x^2-x+d, \quad g(x)=x^3+b x^2-2x-4, \quad h(x)=x^4+2x^3+d x^2+c x+c.
O conteúdo é manipulação de polinômios e igualdade de coeficientes.

Passo 2

Compute f(x)+2g(x)-3h(x) termo a termo:
f(x)=a x^3+2x^2-x+d,
2g(x)=2x^3+2b x^2-4x-8,
-3h(x)=-3x^4-6x^3-3d x^2-3c x-3c.

Passo 3

Somando os três polinômios, agrupamos os coeficientes de cada potência de x:
coeficiente de x^4: -3,
coeficiente de x^3: a+2-6 = a-4,
coeficiente de x^2: 2+2b-3d,
coeficiente de x: -1-4-3c = -5-3c,
termo constante: d-8-3c.

Passo 4

Igualando a
-3x^4+5x^3-3x^2+x+2
vemos que os coeficientes devem satisfazer
-3=-3\quad(\text{ok}),
a-4=5\implies a=9,
2+2b-3d=-3\implies 2b-3d=-5,
-5-3c=1\implies -3c=6\implies c=-2,
d-8-3c=2\implies d-8+6=2\implies d=4.
Substituindo d=4 em 2b-3d=-5 2b-12=-5, logo b=7/2.

Resposta

a=9,\; b=\tfrac{7}{2},\; c=-2,\; d=4.

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