Determine os números reais a, b, c e d para que as identidades de polinômios sejam verdadeiras:
(b+d) x^{4}+(d+a) x^{3}+(a-c) x^{2}+(c+b) x=4 x^{4}+2 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os reais a,b,c,d tais que a identidade de polinômios
(b+d)x^{4} \;+\;(d+a)x^{3}\;+\;(a-c)x^{2}\;+\;(c+b)x \;=\;4x^{4}+2x^{2}
seja verdadeira para todo x. Vamos usar correspondência de coeficientes para resolver.

Passo 2

Igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
\begin{cases} b + d = 4,\\\ d + a = 0,\\\ a - c = 2,\\\ c + b = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação d + a = 0 vem
d = -a.
Da quarta equação c + b = 0 vem
c = -b.
Substituindo d = -a na primeira equação b + d = 4
b - a = 4\quad\Longrightarrow\quad b = a + 4.
E substituindo c=-b na terceira equação a - c = 2
a - (-b) = 2\quad\Longrightarrow\quad a + b = 2.
Usando b = a+4 nessa última:
a + (a+4) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2a + 4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Passo 4

Agora calculamos os demais:
b = a + 4 = -1 + 4 = 3,\quad c = -b = -3,\quad d = -a = 1.

Resposta

a = -1,\; b = 3,\; c = -3,\; d = 1.

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