Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
\left|2 x^{2}+3 x+3\right| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede os valores de x\in\mathbb{R} tais que
\left|2x^{2}+3x+3\right|\le3.
O conteúdo principal é inequação com valor absoluto. Vamos usar o fato de que
\left|f(x)\right|\le a\quad\Longleftrightarrow\quad -a\le f(x)\le a
para desdobrar a desigualdade em duas partes e depois intersectar as soluções.

Passo 2

Aplicando o desdobramento com f(x)=2x^{2}+3x+3 e a=3, obtemos o sistema
-3 \le 2x^{2}+3x+3 \le 3.
Isso equivale a resolver simultaneamente as duas inequações
  1. 2x^{2}+3x+3 \le 3,
  2. 2x^{2}+3x+3 \ge -3.

Passo 3

Para a primeira parte, subtraímos 3 de ambos os lados:
2x^{2}+3x+3 \le 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}+3x \le 0.
Fatorando,
2x^{2}+3x = x\,(2x+3),
cujo produto é não positivo quando x está entre as raízes x=0 e x=-\tfrac32. Logo
2x^{2}+3x+3 \le 3 \quad\Longleftrightarrow\quad -{\tfrac32}\le x\le 0.

Passo 4

Para a segunda parte, adicionamos 3 a ambos os lados:
2x^{2}+3x+3 \ge -3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}+3x+6 \ge 0.
O discriminante dessa quadrática é
\Delta = 3^{2}-4\cdot2\cdot6 =9-48=-39<0,
o que significa que 2x^{2}+3x+6 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}. Portanto essa inequação é satisfeita por todos os reais.

Passo 5

A solução da desigualdade com valor absoluto é a interseção das soluções dos dois itens:
x\in\bigl[-\tfrac32,\,0\bigr].

Resposta

\displaystyle \bigl[-\tfrac32,\,0\bigr]

Exercícios relacionados