Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
\left|\frac{5}{2 x-1}\right| \geq\left|\frac{1}{x-2}\right|

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R}
\left|\frac{5}{2x-1}\right|\;\ge\;\left|\frac{1}{x-2}\right|
O conteúdo é resolução de desigualdade com valores absolutos e teremos de cuidar do domínio, pois 2x-1\neq0 implica x\neq\tfrac12 e x-2\neq0 implica x\neq2.

Passo 2

Reescrevemos a desigualdade agrupando num único valor absoluto:
\left|\frac{5}{2x-1}\right|\ge\left|\frac{1}{x-2}\right| \quad\Longleftrightarrow\quad \left|\frac{5}{2x-1}\cdot(x-2)\right|\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad \left|\frac{5(x-2)}{2x-1}\right|\ge1.

Passo 3

Como \bigl|E\bigr|\ge1 é equivalente a E^2\ge1, elevamos ao quadrado:
\left[\frac{5(x-2)}{2x-1}\right]^2\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{25(x-2)^2}{(2x-1)^2}\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad 25(x-2)^2\ge(2x-1)^2.

Passo 4

Desenvolvendo:
25(x^2-4x+4)\;-\;(4x^2-4x+1)\;\ge\;0 \;\Longleftrightarrow\; 21x^2-96x+99\ge0.
O discriminante é \Delta=(-96)^2-4\cdot21\cdot99=900, com raízes
x=\frac{96\pm30}{42} \;\Longrightarrow\; x=\frac{11}{7}\quad\text{ou}\quad x=3.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola está para cima e
21x^2-96x+99\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le\frac{11}{7}\quad\text{ou}\quad x\ge3.

Passo 5

Agora aplicamos as restrições do domínio, excluindo x=\tfrac12 e x=2. Note que 2 já não está nas regiões permitidas, mas \tfrac12 fica em (-\infty,\tfrac{11}{7}]. Logo a solução final é
(-\infty,\tfrac12)\;\cup\;(\tfrac12,\tfrac{11}{7}]\;\cup\;[3,\infty).

Resposta

(-\infty,\tfrac12)\;\cup\;(\tfrac12,\tfrac{11}{7}]\;\cup\;[3,\infty).

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