Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
\left|\frac{x-1 / 2}{x+1 / 2}\right|<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a desigualdade
\left|\frac{x-\tfrac12}{x+\tfrac12}\right|<1.
O conteúdo é manipulação de valor absoluto e condições de domínio (denominador não pode ser zero).

Passo 2

Precisamos primeiro exigir que o denominador seja não nulo:
x+\tfrac12 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq -\tfrac12.

Passo 3

Com x\neq -\tfrac12, podemos usar a propriedade
\left|\frac{A}{B}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |A|<|B|.
Aqui A = x-\tfrac12 e B = x+\tfrac12. Logo queremos
\bigl|x-\tfrac12\bigr| < \bigl|x+\tfrac12\bigr|.

Passo 4

Para resolver \bigl|x-\tfrac12\bigr| < \bigl|x+\tfrac12\bigr|, elevamos ao quadrado (não muda o sentido da desigualdade pois ambos os lados são não negativos):
(x-\tfrac12)^2 < (x+\tfrac12)^2.
Expandindo:
x^2 - x + \tfrac14 < x^2 + x + \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad -\,x < x \quad\Longrightarrow\quad -2x < 0 \quad\Longrightarrow\quad x > 0.

Passo 5

Juntando com a condição de domínio x \neq -\tfrac12, vemos que a solução é simplesmente x>0.

Resposta

(0,\infty)

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