Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
|x-1|+|x-3|<|4 x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-1| + |x-3| < |4x|.
O conteúdo envolvido é o tratamento de expressões com valores absolutos, que muda dependendo do sinal de cada termo. Vamos dividir o eixo real nos pontos em que mudam os sinais dentro dos módulos, ou seja, em x=0, x=1 e x=3, e estudar cada caso.

Passo 2

Caso x<0:
|x-1| = 1 - x,\quad |x-3| = 3 - x,\quad |4x| = -4x.
A desigualdade vira
(1 - x) + (3 - x) < -4x \quad\Longrightarrow\quad 4 - 2x < -4x \quad\Longrightarrow\quad 4 < -2x \quad\Longrightarrow\quad x < -2.
Como já supusemos x<0, neste ramo a solução é
x < -2.

Passo 3

Caso 0 \le x < 1:
|x-1| = 1 - x,\quad |x-3| = 3 - x,\quad |4x| = 4x.
A desigualdade fica
(1 - x) + (3 - x) < 4x \quad\Longrightarrow\quad 4 - 2x < 4x \quad\Longrightarrow\quad 4 < 6x \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac{2}{3}.
Interseccionando com 0 \le x < 1, obtemos
\tfrac{2}{3} < x < 1.

Passo 4

Caso 1 \le x < 3:
|x-1| = x - 1,\quad |x-3| = 3 - x,\quad |4x| = 4x.
Então
(x - 1) + (3 - x) < 4x \quad\Longrightarrow\quad 2 < 4x \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac12.
Como aqui x\ge1, a condição x>\tfrac12 já é sempre satisfeita. Logo, todo 1 \le x < 3 resolve a desigualdade.

Passo 5

Caso x \ge 3:
|x-1| = x - 1,\quad |x-3| = x - 3,\quad |4x| = 4x.
A desigualdade dá
(x - 1) + (x - 3) < 4x \quad\Longrightarrow\quad 2x - 4 < 4x \quad\Longrightarrow\quad -4 < 2x \quad\Longrightarrow\quad x > -2.
Para x\ge3, isso é sempre verdadeiro. Assim, todo x\ge3 está na solução.

Passo 6

Agora unimos todos os ramos:
  1. x < -2
  2. \tfrac{2}{3} < x < 1
  3. 1 \le x < 3
  4. x \ge 3
Os casos 2, 3 e 4 se combinam em x > \tfrac{2}{3}. Portanto, a solução final é
x < -2 \quad\text{ou}\quad x > \tfrac{2}{3}.

Resposta

(-\infty,-2)\cup\bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr)

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