Determine os números reais que satisfazem as seguintes equações:
\left|\frac{3 x+8}{2 x-3}\right|=4

Passo 1

O enunciado pede os x\in\mathbb{R} tais que
\left|\frac{3x+8}{2x-3}\right|=4.
Como temos uma função racional, garantimos primeiro o domínio
2x-3\neq0\implies x\neq\frac{3}{2}.
Em seguida, usamos a propriedade
\lvert A\rvert=4\iff A=4\quad\text{ou}\quad A=-4,
onde A=\frac{3x+8}{2x-3}.

Passo 2

Caso A=4:
\frac{3x+8}{2x-3}=4.
Multiplicando por 2x-3 e resolvendo:
3x+8=4(2x-3)\implies3x+8=8x-12\implies-5x=-20\implies x=4.
Verificamos 2\cdot4-3=5\neq0, logo x=4 é solução válida.

Passo 3

Caso A=-4:
\frac{3x+8}{2x-3}=-4.
Multiplicando por 2x-3 e resolvendo:
3x+8=-4(2x-3)\implies3x+8=-8x+12\implies11x=4\implies x=\frac{4}{11}.
Verificamos 2\cdot\frac{4}{11}-3=-\frac{25}{11}\neq0, logo x=\tfrac{4}{11} é solução válida.

Resposta

x=4\quad\text{ou}\quad x=\frac{4}{11}.

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