Determine os números reais que satisfazem as seguintes equações:
\left|\frac{x+2}{x-2}\right|=5

Passo 1

O enunciado pede determinar os reais x tais que
\left|\frac{x+2}{x-2}\right| = 5.
O conteúdo aqui é solução de equação envolvendo valor absoluto de uma expressão racional. Para resolver, vamos usar a definição \bigl|A\bigr|=5\iff A=5 ou A=-5, lembrando que x\neq2 para não zerar o denominador.

Passo 2

Usando a propriedade do valor absoluto, dividimos em dois casos:
\frac{x+2}{x-2} = 5 \quad\text{ou}\quad \frac{x+2}{x-2} = -5.

Passo 3

Resolver o caso \frac{x+2}{x-2}=5:
Multiplicando ambos os lados por (x-2), obtemos
x+2 = 5(x-2) \;\Longrightarrow\; x+2 = 5x - 10 \;\Longrightarrow\; 2 + 10 = 5x - x \;\Longrightarrow\; 12 = 4x \;\Longrightarrow\; x = 3.

Passo 4

Resolver o caso \frac{x+2}{x-2}=-5:
Multiplicando ambos os lados por (x-2), obtemos
x+2 = -5(x-2) \;\Longrightarrow\; x+2 = -5x + 10 \;\Longrightarrow\; x + 5x = 10 - 2 \;\Longrightarrow\; 6x = 8 \;\Longrightarrow\; x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.

Passo 5

Verificamos o domínio x\neq2. Como 3\neq2 e \tfrac{4}{3}\neq2, ambas as soluções são válidas.

Resposta

As soluções da equação são
x = 3 \quad\text{e}\quad x = \tfrac{4}{3}.

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