(2(pontos) Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x \sin \left(\frac{1}{x}\right) y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Calcule o limite

\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\,y}{\sqrt{x^2+y^2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y). O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos mostrar que esse limite existe e vale zero usando desigualdade e coordenadas polares.]

Passo 2

Usamos que \bigl|\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\bigr|\le1. Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\bigl|f(x,y)\bigr| =\left|\frac{x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|x\,y|}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares, em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}.
Então
\frac{|x\,y|}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{|r\cos\theta\;\cdot\,r\sin\theta|}{r} =r\,|\cos\theta\,\sin\theta| \le \frac{r}{2},
pois |\cos\theta\,\sin\theta|\le\tfrac12.

Passo 4

Como 0\le r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), temos
|f(x,y)|\le\frac{r}{2}\longrightarrow0.
Pela definição de limite em várias variáveis, concluímos que f(x,y)\to0.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

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