(2 portos) Uma fábrica deseja produzir latas cilfndricas fechadas utilizando exatamente
metros quadrados de chapa por lata. Para reduzir custos e otimizar o armazenamento, a empresa quer que cada lata tenha o maior volume possível. Determine, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, quais devem ser as dimensōes do cilindro, raio e altura, que permitem atingir o volume máximo, e calcule esse volume máximo. Descreva detalhadamente o procedimento, explicando como você considera a restrição da quantidade de material disponivel e como encontra a solução ótima.
Passo 1
Temos um cilindro fechado de raio
e altura
. A empresa dispõe de exatamente
de chapa para cada lata e quer maximizar o volume. O conteúdo aqui é aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para um problema de otimização com restrição. Vamos usar como variável de decisão
e
, a função objetivo
e a restrição de área
.
Passo 2
Definimos a função volume e a área total (base, tampa e lateral):
Passo 3
Construímos a Lagrangiana
onde
é o multiplicador de Lagrange. As condições de ótimo interno exigem
Passo 4
Calculando as derivadas:
Da segunda equação vem
Substituindo
na primeira equação (dividindo tudo por
) obtemos
Passo 5
Com
aplicamos a restrição de área:
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Passo 6
O volume máximo é
Resposta
O raio deve ser
m, a altura
m, e o volume máximo é