(2 portos) Uma fábrica deseja produzir latas cilfndricas fechadas utilizando exatamente 42 \pi metros quadrados de chapa por lata. Para reduzir custos e otimizar o armazenamento, a empresa quer que cada lata tenha o maior volume possível. Determine, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, quais devem ser as dimensōes do cilindro, raio e altura, que permitem atingir o volume máximo, e calcule esse volume máximo. Descreva detalhadamente o procedimento, explicando como você considera a restrição da quantidade de material disponivel e como encontra a solução ótima.

Passo 1

Temos um cilindro fechado de raio r e altura h. A empresa dispõe de exatamente 42\pi m^{2} de chapa para cada lata e quer maximizar o volume. O conteúdo aqui é aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para um problema de otimização com restrição. Vamos usar como variável de decisão r e h, a função objetivo V(r,h) e a restrição de área S(r,h)=42\pi.

Passo 2

Definimos a função volume e a área total (base, tampa e lateral):
V(r,h)=\pi\,r^{2}h,
S(r,h)=2\pi\,r^{2}+2\pi\,r\,h=42\pi.

Passo 3

Construímos a Lagrangiana
\mathcal{L}(r,h,\lambda)=\pi\,r^{2}h \;-\;\lambda\bigl(2\pi\,r^{2}+2\pi\,r\,h-42\pi\bigr),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. As condições de ótimo interno exigem
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial r}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.

Passo 4

Calculando as derivadas:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial r} =2\pi\,r\,h -\lambda\bigl(4\pi\,r+2\pi\,h\bigr)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h} =\pi\,r^{2}-\lambda\,(2\pi\,r)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =-(2\pi\,r^{2}+2\pi\,r\,h-42\pi)=0.
Da segunda equação vem
\pi\,r^{2}=2\pi\,r\,\lambda \;\Longrightarrow\; r=2\lambda.
Substituindo r=2\lambda na primeira equação (dividindo tudo por 2\pi) obtemos
r\,h=\lambda\,(2r+h) \;\Longrightarrow\; r\,h=(r/2)(2r+h)=r^{2}+\tfrac{1}{2}r\,h \;\Longrightarrow\; h=2r.

Passo 5

Com h=2r aplicamos a restrição de área:
2\pi\,r^{2}+2\pi\,r\,(2r)=2\pi\,r^{2}+4\pi\,r^{2}=6\pi\,r^{2}=42\pi \;\Longrightarrow\; r^{2}=7 \;\Longrightarrow\; r=\sqrt{7}.
Logo
h=2r=2\sqrt{7}.

Passo 6

O volume máximo é
V_{\max} =\pi\,r^{2}h =\pi\,(7)\,(2\sqrt{7}) =14\pi\sqrt{7}.

Resposta

O raio deve ser r=\sqrt{7} m, a altura h=2\sqrt{7} m, e o volume máximo é
V_{\max}=14\pi\sqrt{7}\text{ m}^{3}.

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