Determine
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto imagem D de D^{*} = [0,1] \times [0,\tfrac{\pi}{2}] \times [0,\tfrac{\pi}{2}] por meio da transformação em coordenadas esféricas. Vamos usar a definição padrão de T em que:
com
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, o parâmetro
representa a distância à origem, então
implica
Passo 3
Os ângulos
e
garantem que
. Assim,
Passo 4
Com isso vemos que D é o primeiro octante da bola de raio 1 no espaço tridimensional, i.e., todos os pontos
com coordenadas não negativas e dentro da esfera unitária.
Resposta
D = {(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x\ge0,;y\ge0,;z\ge0,;x{2}+y{2}+z^{2}\le1}