Determine D=T(D^*), onde D^*=[0,1] times[0, pi / 2] times[0, pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto imagem D de D^{*} = [0,1] \times [0,\tfrac{\pi}{2}] \times [0,\tfrac{\pi}{2}] por meio da transformação em coordenadas esféricas. Vamos usar a definição padrão de T em que:
x = rho,sinphi,costheta, y = rho,sinphi,sintheta, z = rho,cosphi,
com rhoin[0,1],thetain[0,tfracpi2],phiin[0,tfracpi2].

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o parâmetro rho representa a distância à origem, então 0 <= rho <= 1 implica
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2 <= 1

Passo 3

Os ângulos thetain[0,tfracpi2] e phiin[0,tfracpi2] garantem que sintheta,costheta,sinphi,cosphi >= 0. Assim,
x = rhosinphicostheta >= 0, y = rhosinphisintheta >= 0, z = rhocosphi >= 0

Passo 4

Com isso vemos que D é o primeiro octante da bola de raio 1 no espaço tridimensional, i.e., todos os pontos (x,y,z) com coordenadas não negativas e dentro da esfera unitária.

Resposta

D = {(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x\ge0,;y\ge0,;z\ge0,;x{2}+y{2}+z^{2}\le1}

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