Sejam z(x, y)=x^2 y, x(t)=e^t^2 e y(t)=2 t+1. Calcule dd t z(x(t), y(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada de em relação a , onde , e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas no contexto de funções compostas, especificamente aplicando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta como ddt z(x(t), y(t)) = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt , a derivada de em relação a é dada por:
Ou seja, derivamos em relação a e separadamente e multiplicamos pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z(x, y) = x^2 y implies partial zpartial x = 2x y em relação a z(x, y) = x^2 y implies partial zpartial y = x^2 e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de x(t) = e^t^2 implies dxdt = e^t^2 cdot 2t = 2t e^t^2 e y(t) = 2t + 1 implies dydt = 2 em relação a .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
ddt z(x(t), y(t)) = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt = (2x y) cdot (2t e^t^2) + (x^2) cdot 2

Passo 6

Agora, substituímos x(t) = e^t^2 e y(t) = 2t + 1 e ddt z(x(t), y(t)) = 2 e^t^2 (2t + 1) cdot 2t e^t^2 + (e^t^2)^2 cdot 2 pelas suas expressões em termos de :
Então:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
2 e^t^2 (2t + 1) cdot 2t e^t^2 = 4t (2t + 1) e^2t^2
Segundo termo:
(e^t^2)^2 cdot 2 = 2 e^2t^2

Passo 8

Agora, somamos os dois termos:
ddt z(x(t), y(t)) = 4t (2t + 1) e^2t^2 + 2 e^2t^2 = e^2t^2 [4t (2t + 1) + 2]

Passo 9

Vamos expandir e simplificar mais:
4t (2t + 1) = 8t^2 + 4t
Então:
e^2t^2 [8t^2 + 4t + 2] = e^2t^2 (8t^2 + 4t + 2)

Resposta

A derivada de ddt z(x(t), y(t)) = e^2t^2 (8t^2 + 4t + 2) em relação a é:

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