Sejam
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada de
em relação a
, onde
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas no contexto de funções compostas, especificamente aplicando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta como
, a derivada de
em relação a
é dada por:
Ou seja, derivamos
em relação a
e
separadamente e multiplicamos pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões em termos de
:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 8
Agora, somamos os dois termos:
Passo 9
Vamos expandir e simplificar mais:
Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: