Determine onde o gráfico de cada uma das funções a seguir é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo
f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}.

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar em quais intervalos o gráfico da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}
é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada: calculamos f''(x) e analisamos onde ela é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia em
f(x)=(x^{2}+4)^{-1}.
Temos
f'(x)=-1\cdot(x^{2}+4)^{-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Escrevendo
f'(x)=-2x\,(x^{2}+4)^{-2},
temos, pela regra do produto e da cadeia,
f''(x)=-2\,(x^{2}+4)^{-2} + (-2x)\bigl(-2\bigr)\,(x^{2}+4)^{-3}\cdot2x =\,-\frac{2}{(x^{2}+4)^{2}}+\frac{8x^{2}}{(x^{2}+4)^{3}}.
Colocando sobre o mesmo denominador (x^{2}+4)^{3},
f''(x) =\frac{-2(x^{2}+4)+8x^{2}}{(x^{2}+4)^{3}} =\frac{6x^{2}-8}{(x^{2}+4)^{3}}.

Passo 4

Para estudar o sinal de f''(x), observamos que o denominador (x^{2}+4)^{3} é sempre positivo. O sinal de f''(x) vem, portanto, do numerador
6x^{2}-8=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
  • Se \lvert x\rvert>\tfrac{2}{\sqrt{3}}, então 6x^{2}-8>0 e f''(x)>0.
  • Se \lvert x\rvert<\tfrac{2}{\sqrt{3}}, então 6x^{2}-8<0 e f''(x)<0.

Passo 5

Concluímos:
  • f''(x)>0 em \bigl(-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}},\infty\bigr), logo aí o gráfico é côncavo para cima.
  • f''(x)<0 em \bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr), logo aí o gráfico é côncavo para baixo.

Resposta

O gráfico de f(x)=\tfrac{1}{x^{2}+4} é
côncavo para cima em \bigl(-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}},\infty\bigr)
e côncavo para baixo em \bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr).

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