Determine onde o gráfico de cada uma das funções a seguir é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo
.
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar em quais intervalos o gráfico da função
é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada: calculamos
e analisamos onde ela é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia em
Temos
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Escrevendo
temos, pela regra do produto e da cadeia,
Colocando sobre o mesmo denominador
,
Passo 4
Para estudar o sinal de
, observamos que o denominador
é sempre positivo. O sinal de
vem, portanto, do numerador
- Se
, então e . - Se
, então e .
Passo 5
Concluímos:
-
em , logo aí o gráfico é côncavo para cima. -
em , logo aí o gráfico é côncavo para baixo.
Resposta
O gráfico de
é
côncavo para cima em
e côncavo para baixo em .
côncavo para cima em
e côncavo para baixo em