Determine onde o gráfico de cada uma das funções a seguir é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo
h(x)=x^{3}-3 x^{2}+7 x-3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x) = x^{3} - 3x^{2} + 7x - 3
e pede para determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Para isso, vamos usar o fato de que a concavidade de uma função é determinada pelo sinal da sua segunda derivada:
  • Se h''(x)>0, o gráfico é côncavo para cima.
  • Se h''(x)<0, o gráfico é côncavo para baixo.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivadas de h(x).
A primeira derivada é
h'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3} - 3x^{2} + 7x - 3\bigr) = 3x^{2} - 6x + 7.
A segunda derivada é
h''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2} - 6x + 7\bigr) = 6x - 6.

Passo 3

Encontrar os pontos onde h''(x)=0, pois neles a concavidade pode mudar de sinal.
6x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 4

Estudar o sinal de h''(x)=6x-6:
  • Para x<1, 6x-6<0, logo h''(x)<0.
  • Para x>1, 6x-6>0, logo h''(x)>0.

Resposta

O gráfico de h é
côncavo para baixo em \{x\mid x<1\}
e
côncavo para cima em \{x\mid x>1\}.

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