Determine:
z_{x y}(1,1), onde z=x e^{2 y}.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = x e^{2y}
e pede a derivada parcial mista \displaystyle z_{xy}(1,1).
O conteúdo aqui é derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a definição de derivada parcial: ao derivar em x, tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em x:
z_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{2y}\bigr).
Como e^{2y} é constante em relação a x, temos
z_x = e^{2y}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de segunda ordem, primeiro em x e depois em y:
z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(z_x\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{2y}\bigr).
Aplicando a regra da cadeia em e^{2y}, obtemos
z_{xy} = 2\,e^{2y}.

Passo 4

Avaliar em (x,y)=(1,1):
z_{xy}(1,1) = 2\,e^{2\cdot1} = 2\,e^2.

Resposta

z_{xy}(1,1) = 2e^2.

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