Determine P(0), onde P(x) é um polinômio de grau n-1, sabendo que P(k)=1k+1, para k= 1,2,3 … n
a) 1
b) 1n+1
c) -1n!+1
d) 1n!+1
e) 1-1n+1

Passo 1

O problema nos dá um polinômio de grau n-1 tal que P(k)=1k+1 para k=1,2,dots,n, e pede P(0). Vamos usar interpolação evitando calcular todos os coeficientes: definir uma função auxiliar que zere em 1,2,dots,n.

Passo 2

Definimos Q(x)=(x+1)P(x)-1. Note que para cada k=1,2,dots,n temos
Q(k)=(k+1)cdot1k+1-1=0
Então Q(x) é um polinômio de grau n com raízes exatamente em 1,2,dots,n.

Passo 3

Logo
Q(x)=C,(x-1)(x-2)cdots(x-n)
para alguma constante C.

Passo 4

Para achar C, avaliamos Q(x) em x=-1:
Q(-1)=(-1+1)P(-1)-1=-1
Por outro lado,
Q(-1)=C,(-1-1)(-1-2)cdots(-1-n)=C,(-1)^n,(2cdot3cdots(n+1))=C,(-1)^n(n+1)!.

Passo 5

Igualando as duas expressões de Q(-1):
C,(-1)^n(n+1)!=-1Rightarrow C=(-1)^n+1(n+1)!

Passo 6

Queremos P(0). Note que
Q(0)=(0+1)P(0)-1=P(0)-1
e também
Q(0)=C,(-1)(-2)cdots(-n)=C,(-1)^n n!
Substituindo C:
P(0)-1=(-1)^n+1(n+1)!,(-1)^n n!=-1n+1
Logo
P(0)=1-1n+1

Resposta

1-1n+1

Exercícios relacionados