Uma onda quadrada centralizada tem F(x)=1 para |x| <=q pi / 2.
Calcule (a) integrando as séries de Fourier e somando sobre todos |ck|^2

Passo 1

Temos um pulso quadrado periódico de período 2π dado por F(x)=1 para |x|≤π/2 e F(x)=0 para π/2<|x|≤π. O conteúdo aqui é séries de Fourier e o teorema de Parseval, que relaciona a soma dos quadrados dos coeficientes c_k com a integral de |F(x)|² no período.

Passo 2

Para k≠0, o coeficiente de Fourier é
ck=12πintegral-π^πF(x)e^-ikxdx =12πintegral-π/2^π/2e^-ikxdx =1πksinl(tfrackπ2r)
E para k=0 temos
c0=12πintegral-π^πF(x)dx=12πcdot π=12

Passo 3

Agora calculamos a energia do sinal no período:
integral-π^π|F(x)|^2dx=integral-π/2^π/21^2dx=π

Passo 4

Pelo teorema de Parseval vale
integral-π^π|F(x)|^2dx=2πsumk=-∞^∞|ck|^2
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2πsumk=-∞^∞|ck|^2=π Longrightarrow sumk=-∞^∞|ck|^2=12

Resposta

\displaystyle\sum_{k=-\infty}{\infty}|c_k|2=\tfrac12

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