Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a operação binária definida em
por
para
. Pergunta-se se essa operação é associativa e se é comutativa. Informação útil dada: para
temos
e portanto
, logo a operação é fechada em
(o resultado pertence ao conjunto).
Passo 2
Definição/recado rápido sobre comutatividade: uma operação
é comutativa se e somente se
para todos
. Vamos comparar
e
:
Sabemos (propriedade básica dos reais) que
para quaisquer
. Substituindo isso na segunda expressão obtemos
, que é exatamente
. Logo a operação é comutativa.
Passo 3
Definição/recado rápido sobre associatividade: a operação
é associativa se e somente se
para todos
. Vamos calcular cada lado algebraicamente e comparar.
Calculemos
:
Aplicando a definição da operação ao par
,
Agora calculemos
:
Aplicando a definição ao par
,
Comparando as duas expressões temos
Para que fossem iguais para todos
seria necessário
para todos
, o que é claramente falso. Portanto, em geral
e a operação não é associativa.
Passo 4
Ilustração numérica (contraexemplo concreto) para fixar: escolha
,
,
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Como
, fica claro que a operação não é associativa.
Resposta
Comutativa: sim.
Associativa: não.
Associativa: não.