Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a b+1.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária definida em \mathbb{R}_{+}^{*} por
a*b = a b + 1,
para a,b\in\mathbb{R}_{+}^{*}. Pergunta-se se essa operação é associativa e se é comutativa. Informação útil dada: para a,b>0 temos ab>0 e portanto ab+1>1>0, logo a operação é fechada em \mathbb{R}_{+}^{*} (o resultado pertence ao conjunto).

Passo 2

Definição/recado rápido sobre comutatividade: uma operação * é comutativa se e somente se a*b = b*a para todos a,b. Vamos comparar a*b e b*a:
a*b = ab + 1,
b*a = ba + 1.
Sabemos (propriedade básica dos reais) que ab = ba para quaisquer a,b. Substituindo isso na segunda expressão obtemos b*a = ab + 1, que é exatamente a*b. Logo a operação é comutativa.

Passo 3

Definição/recado rápido sobre associatividade: a operação * é associativa se e somente se (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c. Vamos calcular cada lado algebraicamente e comparar.
Calculemos (a*b)*c:
(a*b)*c = (ab+1)*c.
Aplicando a definição da operação ao par (ab+1,\; c),
(a*b)*c = (ab+1)\,c + 1 = abc + c + 1.
Agora calculemos a*(b*c):
a*(b*c) = a*(bc+1).
Aplicando a definição ao par (a,\; bc+1),
a*(b*c) = a(bc+1) + 1 = abc + a + 1.
Comparando as duas expressões temos
(a*b)*c = abc + c + 1,
a*(b*c) = abc + a + 1.
Para que fossem iguais para todos a,b,c seria necessário c = a para todos a,c, o que é claramente falso. Portanto, em geral (a*b)*c \neq a*(b*c) e a operação não é associativa.

Passo 4

Ilustração numérica (contraexemplo concreto) para fixar: escolha a=2, b=3, c=5.
Calcule (a*b)*c:
2*3 = 2\cdot 3 + 1 = 7,
7*5 = 7\cdot 5 + 1 = 36.
Calcule a*(b*c):
3*5 = 3\cdot 5 + 1 = 16,
2*16 = 2\cdot 16 + 1 = 33.
Como 36 \neq 33, fica claro que a operação não é associativa.

Resposta

Comutativa: sim.
Associativa: não.

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