Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define a operação binária
em
por
Vamos verificar as propriedades de comutatividade e associatividade dessa operação.
Passo 2
A operação é comutativa se
para todo
.
Calculamos
Calculamos
Como
, concluímos que
é comutativa.
Passo 3
A operação é associativa se
para todo
.
Primeiro calculamos o lado esquerdo:
Primeiro calculamos o lado esquerdo:
Agora o lado direito:
Como
, concluímos que
é associativa.
Resposta
A operação
em
é comutativa e associativa.