Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a+b-3.

Passo 1

O enunciado define a operação binária * em \mathbb{R} por
a * b = a + b - 3.
Vamos verificar as propriedades de comutatividade e associatividade dessa operação.

Passo 2

A operação é comutativa se a * b = b * a para todo a,b\in\mathbb{R}.
Calculamos
a * b = a + b - 3,
b * a = b + a - 3 = a + b - 3.
Como a*b = b*a, concluímos que * é comutativa.

Passo 3

A operação é associativa se (a * b) * c = a * (b * c) para todo a,b,c\in\mathbb{R}.
Primeiro calculamos o lado esquerdo:
(a * b) * c = (a + b - 3) + c - 3 = a + b + c - 6.
Agora o lado direito:
a * (b * c) = a + (b + c - 3) - 3 = a + b + c - 6.
Como (a*b)*c = a*(b*c), concluímos que * é associativa.

Resposta

A operação a*b = a + b - 3 em \mathbb{R} é comutativa e associativa.

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