Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
Queremos verificar duas propriedades clássicas de operações em conjuntos:
- Comutatividade: se vale
para todos . - Associatividade: se vale
para todos .
Para isso, usaremos álgebra elementar, expandindo ambas as expressões e comparando termos.
Passo 2
Verificação da comutatividade.
Como na expressão o produto
e a soma
são comutativos, temos
Como na expressão
Logo, a operação é comutativa.
Passo 3
Verificação da associatividade.
Calculemos primeiro .
Calculemos primeiro
então
Agora calculemos
.
então
Comparando as duas expressões vemos que ambas somam exatamente os mesmos termos
Portanto
para todo
, ou seja, a operação é associativa.
Resposta
A operação definida por
é comutativa e associativa.