Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a b+a+b.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a operação binária
a * b = ab + a + b.
Queremos verificar duas propriedades clássicas de operações em conjuntos:
  1. Comutatividade: se vale a * b = b * a para todos a,b\in\mathbb{R}.
  2. Associatividade: se vale (a * b) * c = a * (b * c) para todos a,b,c\in\mathbb{R}.
    Para isso, usaremos álgebra elementar, expandindo ambas as expressões e comparando termos.

Passo 2

Verificação da comutatividade.
Como na expressão a * b = ab + a + b o produto ab e a soma a+b são comutativos, temos
a * b = ab + a + b = ba + b + a = b * a.
Logo, a operação é comutativa.

Passo 3

Verificação da associatividade.
Calculemos primeiro (a * b) * c.
a * b = ab + a + b,
então
(a * b) * c = (ab + a + b)\,c + (ab + a + b) + c = abc + ac + bc + ab + a + b + c.
Agora calculemos a * (b * c).
b * c = bc + b + c,
então
a * (b * c) = a\,(bc + b + c) + a + (bc + b + c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c.
Comparando as duas expressões vemos que ambas somam exatamente os mesmos termos
abc,\;ab,\;ac,\;bc,\;a,\;b,\;c.
Portanto (a * b) * c = a * (b * c) para todo a,b,c, ou seja, a operação é associativa.

Resposta

A operação definida por a*b=ab+a+b é comutativa e associativa.

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