Determine quais das seguintes operações são operações binárias (*) sobre \mathbb{N} :
A operação * definida por a * b=2 a+3 b.

Passo 1

O enunciado define uma operação * em \mathbb{N} por
a*b = 2a + 3b.
Queremos ver se isso é de fato uma operação binária em \mathbb{N}, ou seja, se toda vez que a e b são naturais, o resultado a*b também é natural e bem-definido.

Passo 2

Uma operação em \mathbb{N} é binária se, para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, tivermos a*b\in\mathbb{N}. Como a,b são naturais, 2a e 3b também são naturais (produto de naturais é natural) e a soma de naturais é natural. Logo
2a + 3b \in \mathbb{N}.
Isto mostra a propriedade de fechamento.

Passo 3

Também precisamos que a regra atribua exatamente um valor em \mathbb{N} para cada par (a,b). A expressão 2a+3b é uma fórmula bem-definida que, dadas as entradas a e b, produz um único resultado, sem ambiguidade.

Resposta

A operação * definida por a*b = 2a + 3b é uma operação binária sobre \mathbb{N}, pois satisfaz fechamento e bem-definição.

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