Seja V=\mathbb{R}^{3} munido do produto interno usual. Dados os subespaços: S_{1}=\{(x, y, z) \in \left.\mathbb{R}^{3}: x-2 y+3 z=0\right\} e S_{2}=\langle(2,1,-1)\rangle. Determinar S_{1}^{\perp} e S_{2}^{\perp}.

Passo 1

O enunciado pede os complementos ortogonais de dois subespaços de \mathbb{R}^3 com o produto interno usual \langle (x,y,z),(x',y',z')\rangle = xx' + yy' + zz'.
Lembrando que, para um subespaço S\subset\mathbb{R}^3,
S^{\perp} = \{\,v\in\mathbb{R}^3 \mid \langle v,s\rangle = 0\;\forall\,s\in S\}.

Passo 2

Para S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x-2y+3z=0\} notamos que a equação
x-2y+3z = 0
é precisamente \langle (x,y,z),(1,-2,3)\rangle = 0.
Isso significa que S_{1} é o ortogonal de \langle(1,-2,3)\rangle.
Portanto,
S_{1}^{\perp} = \langle(1,-2,3)\rangle.

Passo 3

Para S_{2}=\langle(2,1,-1)\rangle, todo vetor w=(x,y,z) em S_{2}^{\perp} deve satisfazer
\langle (x,y,z),(2,1,-1)\rangle = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + y - z = 0.
Logo,
S_{2}^{\perp} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 2x+y - z = 0\},
um plano cuja base, por exemplo, pode ser dada por \{(1,0,2),(0,1,1)\}.

Resposta

S_{1}^{\perp} = \langle(1,-2,3)\rangle S_{2}^{\perp} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 2x + y - z = 0\}

Exercícios relacionados