Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define a operação binária
em
por
e pede para verificar se essa operação é comutativa e se é associativa. Para isso, vamos usar as definições:
– Comutativa: para todo
.
– Associativa: para todo
.
– Comutativa:
– Associativa:
Passo 2
Verificando a comutatividade, trocamos a ordem de
e
em
e calculamos
Como a soma e o produto em
são comutativos, temos
logo
Portanto,
é comutativa.
Passo 3
Para testar a associatividade, primeiro calculamos
. Como
,
Desenvolvendo e coletando termos,
Passo 4
Agora calculamos
. Como
,
Desenvolvendo,
Passo 5
Comparando os dois resultados:
são idênticos para quaisquer
. Logo, a operação é associativa.
Resposta
A operação
definida por
em
é ao mesmo tempo comutativa e associativa.