Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a+b-a b.

Passo 1

O enunciado define a operação binária * em \mathbb{R} por
a * b = a + b - a\,b
e pede para verificar se essa operação é comutativa e se é associativa. Para isso, vamos usar as definições:
– Comutativa: \;a*b = b*a para todo a,b\in\mathbb{R}.
– Associativa: \;(a*b)*c = a*(b*c) para todo a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 2

Verificando a comutatividade, trocamos a ordem de a e b em
a * b = a + b - a\,b
e calculamos
b * a = b + a - b\,a.
Como a soma e o produto em \mathbb{R} são comutativos, temos
b + a = a + b \quad\text{e}\quad b\,a = a\,b,
logo
b * a = a + b - a\,b = a * b.
Portanto, * é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade, primeiro calculamos (a*b)*c. Como a*b = a + b - a\,b,
(a*b)*c = (a + b - a\,b) + c \;-\;(a + b - a\,b)\,c.
Desenvolvendo e coletando termos,
(a*b)*c = a + b - a\,b + c - a\,c - b\,c + a\,b\,c.

Passo 4

Agora calculamos a*(b*c). Como b*c = b + c - b\,c,
a*(b*c) = a + (b + c - b\,c) \;-\; a\,(b + c - b\,c).
Desenvolvendo,
a*(b*c) = a + b + c - b\,c - a\,b - a\,c + a\,b\,c.

Passo 5

Comparando os dois resultados:
(a*b)*c = a + b + c - a\,b - a\,c - b\,c + a\,b\,c
a*(b*c) = a + b + c - a\,b - a\,c - b\,c + a\,b\,c
são idênticos para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}. Logo, a operação é associativa.

Resposta

A operação * definida por a*b=a+b-ab em \mathbb{R} é ao mesmo tempo comutativa e associativa.

Exercícios relacionados