Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=\max \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado define uma operação binária * em \mathbb{R} dada por
a * b = \max\{a,b\}.
O que pedem é verificar duas propriedades clássicas de operações binárias: comutatividade e associatividade. Para isso, vamos lembrar as definições:
  • \emph{Comutativa}: a*b = b*a para todos a,b\in\mathbb{R}.
  • \emph{Associativa}: (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 2

Verificando a comutatividade, observamos que trocar a e b não muda o máximo entre eles. De fato,
a*b = \max\{a,b\} \quad\text{e}\quad b*a = \max\{b,a\}.
Como \max\{a,b\} = \max\{b,a\} para quaisquer a,b, segue que
a*b = b*a.
Logo, a operação é comutativa.

Passo 3

Para a associatividade, calculamos cada lado:
(a*b)*c = \max\bigl(\max\{a,b\},c\bigr) = \max\{a,b,c\},
a*(b*c) = \max\bigl(a,\max\{b,c\}\bigr) = \max\{a,b,c\}.
Como ambos resultam em \max\{a,b,c\}, temos
(a*b)*c = a*(b*c).
Portanto, a operação é associativa.

Resposta

A operação a*b=\max\{a,b\} em \mathbb{R} é simultaneamente comutativa e associativa.

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