Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define uma operação binária
em
dada por
O que pedem é verificar duas propriedades clássicas de operações binárias: comutatividade e associatividade. Para isso, vamos lembrar as definições:
- \emph{Comutativa}:
para todos . - \emph{Associativa}:
para todos .
Passo 2
Verificando a comutatividade, observamos que trocar
e
não muda o máximo entre eles. De fato,
Como
para quaisquer
, segue que
Logo, a operação é comutativa.
Passo 3
Para a associatividade, calculamos cada lado:
Como ambos resultam em
, temos
Portanto, a operação é associativa.
Resposta
A operação
em
é simultaneamente comutativa e associativa.