Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a+b+a^{2} b.

Passo 1

O enunciado define a operação binária * em \mathbb{R} por
a * b = a + b + a^{2}b.
Queremos verificar se essa operação é comutativa e se é associativa.

Passo 2

Para testar a comutatividade devemos comparar a * b com b * a.
a * b = a + b + a^{2}b,
b * a = b + a + b^{2}a = a + b + ab^{2}.
Temos
a * b = b * a \iff a^{2}b = ab^{2} \iff ab(a - b)=0,
que não é verdade para todos a,b\in\mathbb{R}. Portanto, * não é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade comparamos (a*b)*c e a*(b*c).
Escolhendo um contra­exemplo simples, tome a=b=c=1.
Primeiro,
1 * 1 = 1 + 1 + 1^{2}\cdot1 = 3, \quad (1*1)*1 = 3 * 1 = 3 + 1 + 3^{2}\cdot1 = 13.
Em seguida,
b * c = 1 * 1 = 3, \quad a*(b*c) = 1 * 3 = 1 + 3 + 1^{2}\cdot3 = 7.
Como 13 \neq 7, concluímos que * não é associativa.

Resposta

A operação * não é comutativa nem associativa.

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