Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define a operação binária
em
por
Queremos verificar se essa operação é comutativa e se é associativa.
Passo 2
Para testar a comutatividade devemos comparar
com
.
Temos
que não é verdade para todos
. Portanto, * não é comutativa.
Passo 3
Para testar a associatividade comparamos
e
.
Escolhendo um contraexemplo simples, tome .
Primeiro,
Escolhendo um contraexemplo simples, tome
Primeiro,
Em seguida,
Como
, concluímos que * não é associativa.
Resposta
A operação
não é comutativa nem associativa.