Determine quais operadores lineares a seguir são diagonalizáveis.
(a) T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(y,-x)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^2toR^2 definido por
T(x,y) = (y,-x)
O conteúdo é diagonalização de operadores lineares: para decidir se T é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se existe uma base de R^2 formada por autovetores de T.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica e1,e2 de R^2:
A = 0 & 1 -1 & 0
O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det-lambda & 1 -1 & -lambda = (-lambda)(-lambda) - (-1)cdot1 = lambda^2 + 1

Passo 3

As raízes de chiA(lambda)=0 são
lambda = pm i,
que não pertencem a R. Como não há autovalores reais, não existem autovetores reais não nulos e, consequentemente, não se pode formar uma base de R^2 com autovetores de T. Logo, T não é diagonalizável sobre R.

Resposta

T não é diagonalizável em R^2.

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