Determine se os operadores a seguir são lineares ou não:
(raiz quadrada)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o operador
é linear ou não.
Informação dada: atua sobre uma função
como a raiz quadrada pointwise, ou seja,
Informação dada:
Não há outras informações sobre o espaço de funções ou sobre quais escalares estamos usando, então vamos considerar o caso usual: espaço de funções reais com escalares reais, tomando apenas funções que assumem valores não negativos (para
estar bem definida).
Passo 2
Definição de operador linear (explicada devagarinho): um operador
é linear se, para quaisquer funções
e
do domínio e quaisquer escalares
e
, vale
Essa definição tem duas propriedades separadas que devemos checar:
- Homogeneidade (multiplica por escalar):
para todo escalar . - Aditividade:
.
Se qualquer uma dessas falhar para nosso operador, então não é linear.
Passo 3
Teste da homogeneidade (com explicação): calculemos
para um escalar
. Por definição,
Usamos a propriedade da raiz quadrada para separar fatores:
Para que a homogeneidade se mantenha precisaríamos ter
para todo
. Isso exigiria
para todo escalar
, o que não é verdade (por exemplo, para
,
). Vamos ao contraexemplo numérico simples: tome
(função constante 1) e
. Então
enquanto
Como
, a propriedade da homogeneidade falha. Logo
não satisfaz a homogeneidade em geral.
Passo 4
Teste da aditividade (com explicação e contraexemplo): calculemos
e comparemos com
. Por definição,
Em geral não é verdade que
Um contraexemplo simples: escolha
e
. Então
enquanto
Como
, a aditividade também falha.
Passo 5
Conclusão e comentário final amigável: já que a homogeneidade falha (Passo 3) e a aditividade falha (Passo 4), o operador
não é linear. Observação extra: a única “situação” trivial em que
age linearmente seria num subespaço muito pequeno (por exemplo, apenas a função zero), mas isso é irrelevante para a linearidade global do operador.
Resposta
Não é linear.