Determine se os operadores a seguir são lineares ou não:
\hat{A}(f(x))=S Q R T f(x) (raiz quadrada)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o operador \hat{A} é linear ou não.
Informação dada: \hat{A} atua sobre uma função f(x) como a raiz quadrada pointwise, ou seja,
\hat{A}(f(x))=\sqrt{f(x)}.
Não há outras informações sobre o espaço de funções ou sobre quais escalares estamos usando, então vamos considerar o caso usual: espaço de funções reais com escalares reais, tomando apenas funções que assumem valores não negativos (para \sqrt{\cdot} estar bem definida).

Passo 2

Definição de operador linear (explicada devagarinho): um operador \hat{L} é linear se, para quaisquer funções f e g do domínio e quaisquer escalares a e b, vale
\hat{L}(a f + b g) = a\,\hat{L}(f) + b\,\hat{L}(g).
Essa definição tem duas propriedades separadas que devemos checar:
  1. Homogeneidade (multiplica por escalar): \hat{L}(a f) = a\,\hat{L}(f) para todo escalar a.
  2. Aditividade: \hat{L}(f+g)=\hat{L}(f)+\hat{L}(g).
    Se qualquer uma dessas falhar para nosso operador \hat{A}, então \hat{A} não é linear.

Passo 3

Teste da homogeneidade (com explicação): calculemos \hat{A}(c f) para um escalar c. Por definição,
\hat{A}(c f)(x)=\sqrt{c\,f(x)}.
Usamos a propriedade da raiz quadrada para separar fatores:
\sqrt{c\,f(x)}=\sqrt{c}\,\sqrt{f(x)}.
Para que a homogeneidade se mantenha precisaríamos ter \sqrt{c}\,\sqrt{f(x)}=c\,\sqrt{f(x)} para todo f. Isso exigiria \sqrt{c}=c para todo escalar c, o que não é verdade (por exemplo, para c=2, \sqrt{2}\neq 2). Vamos ao contraexemplo numérico simples: tome f(x)=1 (função constante 1) e c=4. Então
\hat{A}(c f)(x)=\sqrt{4\cdot 1}=2,
enquanto
c\,\hat{A}(f)(x)=4\cdot\sqrt{1}=4.
Como 2\neq 4, a propriedade da homogeneidade falha. Logo \hat{A} não satisfaz a homogeneidade em geral.

Passo 4

Teste da aditividade (com explicação e contraexemplo): calculemos \hat{A}(f+g) e comparemos com \hat{A}(f)+\hat{A}(g). Por definição,
\hat{A}(f+g)(x)=\sqrt{f(x)+g(x)}.
Em geral não é verdade que
\sqrt{f(x)+g(x)}=\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}.
Um contraexemplo simples: escolha f(x)=1 e g(x)=1. Então
\hat{A}(f+g)(x)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},
enquanto
\hat{A}(f)(x)+\hat{A}(g)(x)=\sqrt{1}+\sqrt{1}=1+1=2.
Como \sqrt{2}\neq 2, a aditividade também falha.

Passo 5

Conclusão e comentário final amigável: já que a homogeneidade falha (Passo 3) e a aditividade falha (Passo 4), o operador \hat{A}(f)=\sqrt{f} não é linear. Observação extra: a única “situação” trivial em que \hat{A} age linearmente seria num subespaço muito pequeno (por exemplo, apenas a função zero), mas isso é irrelevante para a linearidade global do operador.

Resposta

Não é linear.

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