Determine \operatorname{Dom}(f) se:
(d) f(x, y)=16-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis
f(x,y)=16 - x^{2} - y^{2}
e pede para determinar \operatorname{Dom}(f), ou seja, o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida (como número real). As informações relevantes são apenas a expressão acima; não há outras condições explícitas.

Passo 2

O que significa “domínio” neste contexto? Vou explicar de forma direta e prática:
  • Para uma função de variáveis reais, \operatorname{Dom}(f) é o conjunto de todos os (x,y)\in\mathbb{R}^{2} tais que a expressão que define f(x,y) faz sentido e resulta em um número real.
  • Operações que podem causar restrição ao domínio (isto é, excluir pontos) são, por exemplo:
    • divisão por zero (por ex., 1/x exige x\neq0);
    • radiciação de índice par com argumento negativo (por ex., \sqrt{x} exige x\ge0);
    • logaritmos com argumento não positivo (por ex., \ln(x) exige x>0).
  • Já expressões polinomiais (somar, subtrair, multiplicar números reais e elevar a potências inteiras não-negativas) estão sempre definidas para qualquer número real.

Passo 3

Analise a expressão de f:
f(x,y)=16 - x^{2} - y^{2}.
Aqui temos apenas operações do tipo: elevar x e y ao quadrado ( x^{2},y^{2}), e depois somar/subtrair constantes. Todas essas operações são bem definidas para qualquer x\in\mathbb{R} e qualquer y\in\mathbb{R}. Não há fração com denominador que possa anular, não há raiz quadrada, não há logaritmo, nada que imponha uma condição extra.
Portanto, para qualquer par (x,y) de números reais, x^{2} e y^{2} existem e 16-x^{2}-y^{2} é um número real bem definido.

Passo 4

Um pequeno exemplo para deixar mais claro:
  • Se (x,y)=(0,0), então f(0,0)=16-0-0=16.
  • Se (x,y)=(4,3), então f(4,3)=16-16-9=-9.
    Esses exemplos mostram que tanto valores positivos quanto negativos de f aparecem, e não houve nenhum par (x,y) para o qual a expressão fosse indefinida.

Passo 5

Conclusão: não existe nenhuma restrição sobre x e y além de serem reais. Assim o domínio é todo o plano real.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}

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